Este livro apresenta uma abordagem clássica da teoria das funções de variável complexa e destina-se a ser usado como texto de apoio para as aulas de Análise Complexa e Equações Diferenciais ou outras unidades curriculares dos cursos de Engenharia que recorram à análise complexa.

Na primeira parte do livro são apresentados os fundamentos da álgebra dos números complexos, com especial ênfase na interpretação geométrica das suas propriedades. A parte principal do livro inclui os resultados clássicos do cálculo diferencial e integral com funções de variável complexa; é dada especial atenção ao teorema de Cauchy e suas consequências, aos desenvolvimentos em séries de potências e ao prolongamento analítico de funções de variável complexa.

A parte final do livro é dedicada à transformação conforme e à sua aplicação na resolução do problema de valores na fronteira para a equação de Laplace em duas dimensões; inclui uma tabela de transformações conformes de uso frequente.

Os numerosos exercícios propostos no final de cada capítulo permitem uma melhor consolidação dos conhecimentos adquiridos durante a leitura do texto.

António Horácio Simões de Abreu nasceu em Vouzela em 1923, filho de um casal de professores do ensino primário. Completou o curso liceal no Liceu Pedro Nunes onde, tendo tido a mais alta classificação a nível nacional, não recebeu o prémio correspondente do então Presidente Carmona por não ser filiado na Mocidade Portuguesa.

Concluiu o curso de Engenharia Electrotécnica, tendo sido o aluno mais classificado em Matemática pelos professores Mira Fernandes e Ferreira de Macedo. Recebeu o prémio “Mira Fernandes”. Foi assistente de Ferreira de Macedo no IST, no decurso do 4º ano do seu curso. Tal como aconteceu com Ferreira de Macedo, foi afastado de funções docentes do IST que só retomaria no final dos anos sessenta. Foi ainda professor da Escola Náutica Infante D. Henrique.

Casou em Lisboa, na cadeia de Caxias. António Simões de Abreu foi militante muito activo contra o regime salazarista vigente antes do 25 de Abril de 1974. No próprio dia em que concluía, em 1946, em Tancos, o 2º ciclo de oficiais milicianos, foi preso em regime agravado na cadeia de Penamacor. Seguiram-se ao longo da vida seis prisões pela PIDE/ DGS. Aderiu ao PCP em 1942, nas Juventudes Comunistas, tendo integrado desde finais de 1946 até 1948 a Comissão Central do MUD-Juvenil, entre outros com Areosa Feio, Júlio Pomar, Mário Soares, Octávio Pato, Óscar dos Reis, Rui Grácio e Salgado Zenha. Em 1958 trabalhou com Arlindo Vicente, e teve papel destacado no entendimento da sua candidatura com a de Humberto Delgado. No final de uma vida politicamente muito activa participou, pouco antes do 25 de Abril, no Congresso dos Engenheiros e, no início da revolução, no movimento sindical docente que teve então um amplo desenvolvimento. Recebeu a Ordem da Liberdade dias antes de falecer em 2005.
PREFÁCIO

I ÁLGEBRA DOS COMPLEXOS

1 ÁLGEBRA DOS COMPLEXOS

1.1 O conjunto C dos números complexos, suporte de um espaço vectorial real, com dimensão 2
1.1.1 Introdução
1.1.2 Dimensão
1.1.3 Norma no espaço vectorial C
1.2 O conjunto C como suporte de um corpo, extensão do corpo real R
1.2.1 Introdução
1.2.2 O corpo C como extensão do corpo R
1.2.3 O corpo C, como extensão do corpo R, não pode ser ordenado
1.3 Representação geométrica. Forma trigonométrica. Radiciação
1.3.1 Introdução
1.3.2 Forma trigonométrica
1.4 As operações do espaço vectorial e do corpo C no plano de Argand
1.5 Complexos conjugados. Propriedades e aplicações
1.5.1 Definição
1.5.2 Propriedades
1.5.3 Aplicações
1.6 Exercícios

II ANÁLISE COMPLEXA

2 DIFERENCIAÇÃO

2.1 Topologia do espaço C. Conjuntos particulares
2.1.1 Introdução
2.1.2 Sucessões e séries
2.1.3 Funções de R em C. Linhas de Jordan. Regiões simples e multiplamente conexas
2.2 Funções de variável complexa. Limite. Continuidade
2.2.1 Generalidades. Significado geométrico
2.2.2 Limite. Continuidade
2.3 Derivada num ponto. Diferenciabilidade e analiticidade. Significado geométrico
2.3.1 Derivada e diferencial
2.3.2 Significado geométrico local
2.3.3 Analiticidade. Transformação conforme
2.3.4 Derivadas de ordem superior à primeira
2.3.5 Equações de Cauchy-Riemann. Funções harmónicas em R^2
2.4 Séries de potências. Funções transcendentes elementares
2.4.1 Séries de potências
2.4.2 A função exponencial
2.4.3 As funções hiperbólicas e circulares
2.5 Inversão de algumas funções elementares. Expressões multívocas. Pontos de ramificação e linhas de ramificação. Superfícies de Riemann
2.5.1 Alguns exemplos
2.5.2 Superfícies de Riemann
2.6 Pontos singulares
2.7 Exercícios

3 INTEGRAÇÃO

3.1 Definição e cálculo do integral
3.1.1 Introdução
3.1.2 Definição do integral. Propriedades
3.1.3 Cálculo do integral, por redução a integrais de Riemann
3.2 Teorema de Cauchy. Algumas consequências importantes
3.2.1 Teorema de Cauchy-Goursat
3.2.2 Algumas consequências imediatas
3.3 Fórmulas integrais de Cauchy. Consequências.
3.3.1 Fórmulas integrais de Cauchy
3.3.2 Consequências importantes das fórmulas integrais de Cauchy
3.4 Aplicação do Teorema dos Resíduos ao cálculo de certos integrais reais
3.4.1 Integral entre mais infinito e menos infinito de f(x)dx
3.4.2 Integral entre zero e dois pi de g(cos theta, sen theta) d theta
3.4.3 Lema de Jordan
3.4.4 Integrais que contêm ramos extraídos de expressões multívocas
3.5 Exercícios

4 DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE. PROLONGAMENTO ANALÍTICO

4.1 Desenvolvimento de Taylor
4.1.1 Teorema de Taylor
4.1.2 Alguns desenvolvimentos taylorianos
4.2 Desenvolvimento de Laurent
4.2.1 Teorema de Laurent
4.2.2 Zeros e singularidades. O ponto infinito
4.3 Prolongamento analítico
4.4 Exercícios

5 TRANSFORMAÇÃO CONFORME

5.1 Generalidades
5.1.1 Teorema da Aplicação de Riemann
5.1.2 Transformação de Schwarz-Christoffel
5.1.3 Transformação de fronteiras na forma paramétrica
5.1.4 Transformação de um semi-plano num círculo de raio 1
5.2 Algumas transformações elementares
5.2.1 Translacção
5.2.2 Homotetia em relação à origem
5.2.3 Rotação em torno da origem
5.2.4 Transformação w = az
5.2.5 Transformação de semelhança
5.2.6 Inversão
5.3 A transformação de Möbius
5.4 O problema fundamental. Aplicações à Física
5.4.1 Introdução
5.4.2 Os problemas de Dirichlet e de Neumann no plano
5.4.3 Aplicação da teoria da transformação conforme à resolução do problema de Dirichlet
5.5 Tabela de transformações conformes de uso frequente
5.6 Exercícios

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Este livro tem como objectivo principal servir de texto base auto-contido a uma disciplina de Análise Complexa e Equações Diferenciais, ou a qualquer outra disciplina que dê a primeira introdução a uma destas áreas. Pode também servir para estudo independente, ou de texto básico de referência a disciplinas que recorram a técnicas ou resultados de análise complexa ou equações diferenciais. Estudam-se em particular funções holomorfas, equações diferenciais ordinárias, séries de Fourier e aplicações a equações diferenciais parciais. Assumem-se apenas os conhecimentos básicos de álgebra linear e de cálculo diferencial e integral dados por disciplinas anteriores. Uma característica principal do texto é que tudo é demonstrado, mas sempre de uma forma tão simples quanto possível e com um nível análogo em todos os tópicos, mantendo pois a acessibilidade sem comprometer o rigor matemático. O livro inclui numerosos exemplos, que ilustram detalhadamente os novos conceitos e resultados, e exercícios no final de cada capítulo, com nível de dificuldade variável e com as respectivas soluções.
Luís Barreira é Professor Catedrático de Matemática no Instituto Superior Técnico, onde se licenciou em Matemática Aplicada e Computação em 1991. Doutorou-se em Matemática na Pennsylvania State University, EUA em 1996. Recebeu o Prémio Gulbenkian Ciência em 2007, o Prémio Científico UTL/Santander Totta em Matemática em 2007 e o prémio internacional Ferran Sunyer i Balaguer Prize em 2008 (outorgado pelo Institut d'Estudis Catalans, Barcelona). É autor dos livros Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic Theory (American Mathematical Society, 2002) e Nonuniform Hyperbolicity (Cambridge University Press, 2007), ambos com Yakov Pesin, e também Stability of Nonautonomous Differential Equations (Springer, 2008), com Claudia Valls, e Dimension and Recurrence in Hyperbolic Dynamics (Birkhäuser, 2008, pelo qual recebeu o prémio Ferran Sunyer i Balaguer). É ainda autor de cerca de uma centena de artigos de investigação em matemática, incluindo de vários surveys, predominantemente em equações diferenciais, sistemas dinâmicos, teoria ergódica e análise multifractal.

ÍNDICE
PREFÁCIO 
I ANÁLISE COMPLEXA
1 NOÇÕES BÁSICAS 
1.1 Números complexos 
1.2 Forma polar 
1.3 Conjugado 
1.4 Funções complexas 
1.5 Exercícios 
2 FUNÇÕES HOLOMORFAS 
2.1 Limites e continuidade 
2.2 Diferenciabilidade 
2.3 Condição de diferenciabilidade 
2.4 Caminhos e integrais 
2.5 Primitivas 
2.6 Índice de um caminho fechado 
2.7 Fórmula integral de Cauchy 
2.8 Integrais e homotopia de caminhos 
2.9 Funções harmónicas conjugadas 
2.10 Exercícios 
3 SUCESSÕES E SÉRIES 
3.1 Sucessões 
3.2 Séries de números complexos 
3.3 Séries de números reais 
3.4 Convergência uniforme 
3.5 Exercícios 
4 FUNÇÕES ANALÍTICAS 
4.1 Séries de potências 
4.2 Zeros 
4.3 Séries de Laurent e singularidades 
4.4 Resíduos 
4.5 Funções meromorfas 
4.6 Exercícios 
II EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
5.1 Noções básicas 
5.2 Existência e unicidade de soluções 
5.3 Equações lineares: caso escalar 
5.4 Equações lineares: caso geral 
5.5 Cálculo de exponenciais de matrizes 
5.6 Exercícios 
6 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
6.1 Equações exactas 
6.2 Equações redutíveis a exactas 
6.3 Equações escalares de ordem superior a 1 
6.4 Transformada de Laplace 
6.5 Exercícios 
7 SÉRIES DE FOURIER 
7.1 Um exemplo 
7.2 Séries de Fourier 
7.3 Unicidade e ortogonalidade 
7.4 Funções pares e ímpares 
7.5 Séries de cosenos e séries de senos 
7.6 Integração e derivação termo a termo 
7.7 Exercícios 
8 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
8.1 Equação do calor e modificações 
8.2 Equação de Laplace 
8.3 Equação das ondas 
8.4 Exercícios

BIBLIOGRAFIA 
ÍNDICE REMISSIVO

Basic Complex Analysis skillfully combines a clear exposition of core theory with a rich variety of applications.  Designed for undergraduates in mathematics, the physical sciences, and engineering who have completed two years of calculus and are taking complex analysis for the first time. .

I used to think math was no fun
'Cause I couldn't see how it was done
Now Euler's my hero
For I now see why zero
Equals e[pi] i+1
—Paul Nahin, electrical engineer

In the mid-eighteenth century, Swiss-born mathematician Leonhard Euler developed a formula so innovative and complex that it continues to inspire research, discussion, and even the occasional limerick. Dr. Euler's Fabulous Formula shares the fascinating story of this groundbreaking formula—long regarded as the gold standard for mathematical beauty—and shows why it still lies at the heart of complex number theory.

This book is the sequel to Paul Nahin's An Imaginary Tale: The Story of I [the square root of -1], which chronicled the events leading up to the discovery of one of mathematics' most elusive numbers, the square root of minus one. Unlike the earlier book, which devoted a significant amount of space to the historical development of complex numbers, Dr. Euler begins with discussions of many sophisticated applications of complex numbers in pure and applied mathematics, and to electronic technology. The topics covered span a huge range, from a never-before-told tale of an encounter between the famous mathematician G. H. Hardy and the physicist Arthur Schuster, to a discussion of the theoretical basis for single-sideband AM radio, to the design of chase-and-escape problems.

The book is accessible to any reader with the equivalent of the first two years of college mathematics (calculus and differential equations), and it promises to inspire new applications for years to come. Or as Nahin writes in the book's preface: To mathematicians ten thousand years hence, "Euler's formula will still be beautiful and stunning and untarnished by time."

"... a fascinating and refreshing look at a familiar subject... essential reading for anybody with any interest at all in this absorbing area of mathematics." - Times Higher Education Supplement
"Visual Complex Analysis is a delight, and a book after my own heart. By his innovative and exclusive use of the geometrical perspective, Tristan Needham uncovers many surprising and largely unappreciated aspects of the beauty of complex analysis." - Roger Penrose
"One of the saddest developments in school mathematics has been the downgrading of the visual for the formal. I'm not lamenting the loss of traditional Euclidean geometry, despite its virtues, because it too emphasised stilted formalities. But to replace our rich visual tradition by silly games with 2x2 matrices has always seemed to me to be the height of folly. It is therefore a special pleasure to see Tristan Needham's Visual Complex Analysis with its elegantly illustrated visual approach. Yes, he has 2x2 matrices—but his are interesting." - Ian Stewart, New Scientist, 11 October 1997
"... an engaging, broad, thorough, and often deep, development of undergraduate complex analysis and related areas from a geometric point of view. The style is lucid, informal, reader-friendly, and rich with helpful images (e.g. the complex derivative as an "amplitwist"). A truly unusual and notably creative look at a classical subject." - Paul Zorn, American Mathematical Monthly
"I was delighted when I came across [Visual Complex Analysis]. As soon as I thumbed through it, I realized that this was the book I was looking for ten years ago." - Ed Catmull, founder of Pixar

Os números complexos estão entre as mais belas e fecundas ideias de todo o pensamento matemático. Sendo pura criação do espírito humano, impregnam de modo intrigante a estrutura profunda da realidade. A análise complexa tem aplicações nos mais diversos domínios da ciência, podendo ser encarada como porta principal de acesso ao edifício de toda a matemática.
Mostrar a beleza e o alcance dos princípios fundamentais desta importante teoria constituiu a linha orientadora da redacção deste livro. Os diferentes temas são apresentados num estilo simples e rigoroso, pontuado por exemplos, ilustrações e aplicações, sob a forma de um curso de iniciação à teoria das funções de uma variável complexa. Tem como principais destinatários os estudantes destas áreas, bem como matemáticos, físicos e engenheiros. Trata-se de um livro acessível, pois apenas supõe a familiaridade do leitor com o nível básico de cálculo infinitesimal.

Este texto traduz, no essencial , o curso leccionado há bastantes anos pelo primeiro autor, com a colaboração do segundo autor nos anos mais recentes, e destinado aos alunos do primeiro semestre do terceiro ano das licenciaturas em Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, curso em que os estudantes pela primeira vez tomam contactocom a «teoria das funções analíticas duma variável complexa» e no qual são desenvolvidos com rigor alguns dos seus tópicos fundamentais e elementares.

Este texto foi escrito para estudantes dos cursos de Matemática Aplicada, Engenharia e Física. Inclui uma introdução elementar à Análise Complexa e numerosos exemplos que mostram como os métodos desenvolvidos 'trabalham' nas diferentes Ciências Aplicadas: das aplicações clássicas na Hidrodinâmica e Electrostática à Química-Física de superfície e Teoria de controlo. No texto foram incluídos (às vezes numa forma esquemática) alguns tópicos da Análise Real e Álgebra Linear, com o objectivo de fazer o livro acessível aos estudantes com níveis diferentes de preparação em Matemática. A matéria é completada por vários exercícios (resolvidos e não resolvidos) que ajudam a aprender melhor a teoria e a elaborar a técnica necessária na resolução de problemas práticos.