1001 Algebra Problems offers those with math anxiety and others who need tutoring the hands-on practice they need. This useful manual providers users the tools they need to master algebra. This title helps users to prepare for exams, develop m/c strategies, apply algebra rules to application problems and build problem solving skills. Includes the most common algebra concepts from expressions to linear equalities to functions.

Product Description
Introduces engineers, computer scientists, and physicists to advanced math topics as they relate to practical problems. The material is arranged into seven independent parts: ODE; Linear Algebra, Vector calculus; Fourier Analysis and Partial Differential Equations; Complex Analysis; Numerical methods; Optimization, graphs; Probability and Statistics.

From the Back Cover
Erwin Kreyszig’s Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition introduces engineers and computer scientists to advanced math topics as they relate to practical problems.
In today’s world of increasingly complex engineering problems, powerful new mathematical and computational methods, and enormous computer capacities, you can get overwhelmed by little things you will only occasionally use. Instead, you need to learn how to think mathematically and gain a firm grasp of the interrelationship among theory, computing, and experiment. That’s why Kreyszig’s text helps you develop a solid understanding of the basic principles and methods of advanced engineering mathematics in all three phases of problem solving: Modeling, Solving, and Interpreting. This best-selling text is known for its comprehensive coverage, careful and correct mathematics, outstanding exercises, and self-contained chapters.
Key Features
• New problem sets.
• New Computer Experiments, using the computer as an instrument of “experimental mathematics” for exploration and research.
• More on modeling and selection methods.
• Accurate and solid theoretical foundation.
• Clear examples and exposition of material.
• Modern and standard notations.

Os números complexos estão entre as mais belas e fecundas ideias de todo o pensamento matemático. Sendo pura criação do espírito humano, impregnam de modo intrigante a estrutura profunda da realidade. A análise complexa tem aplicações nos mais diversos domínios da ciência, podendo ser encarada como porta principal de acesso ao edifício de toda a matemática.
Mostrar a beleza e o alcance dos princípios fundamentais desta importante teoria constituiu a linha orientadora da redacção deste livro. Os diferentes temas são apresentados num estilo simples e rigoroso, pontuado por exemplos, ilustrações e aplicações, sob a forma de um curso de iniciação à teoria das funções de uma variável complexa. Tem como principais destinatários os estudantes destas áreas, bem como matemáticos, físicos e engenheiros. Trata-se de um livro acessível, pois apenas supõe a familiaridade do leitor com o nível básico de cálculo infinitesimal.

Este texto foi escrito para estudantes dos cursos de Matemática Aplicada, Engenharia e Física. Inclui uma introdução elementar à Análise Complexa e numerosos exemplos que mostram como os métodos desenvolvidos 'trabalham' nas diferentes Ciências Aplicadas: das aplicações clássicas na Hidrodinâmica e Electrostática à Química-Física de superfície e Teoria de controlo. No texto foram incluídos (às vezes numa forma esquemática) alguns tópicos da Análise Real e Álgebra Linear, com o objectivo de fazer o livro acessível aos estudantes com níveis diferentes de preparação em Matemática. A matéria é completada por vários exercícios (resolvidos e não resolvidos) que ajudam a aprender melhor a teoria e a elaborar a técnica necessária na resolução de problemas práticos.

Este livro tem como objectivo principal servir de texto base auto-contido a uma disciplina de Análise Complexa e Equações Diferenciais, ou a qualquer outra disciplina que dê a primeira introdução a uma destas áreas. Pode também servir para estudo independente, ou de texto básico de referência a disciplinas que recorram a técnicas ou resultados de análise complexa ou equações diferenciais. Estudam-se em particular funções holomorfas, equações diferenciais ordinárias, séries de Fourier e aplicações a equações diferenciais parciais. Assumem-se apenas os conhecimentos básicos de álgebra linear e de cálculo diferencial e integral dados por disciplinas anteriores. Uma característica principal do texto é que tudo é demonstrado, mas sempre de uma forma tão simples quanto possível e com um nível análogo em todos os tópicos, mantendo pois a acessibilidade sem comprometer o rigor matemático. O livro inclui numerosos exemplos, que ilustram detalhadamente os novos conceitos e resultados, e exercícios no final de cada capítulo, com nível de dificuldade variável e com as respectivas soluções.
Luís Barreira é Professor Catedrático de Matemática no Instituto Superior Técnico, onde se licenciou em Matemática Aplicada e Computação em 1991. Doutorou-se em Matemática na Pennsylvania State University, EUA em 1996. Recebeu o Prémio Gulbenkian Ciência em 2007, o Prémio Científico UTL/Santander Totta em Matemática em 2007 e o prémio internacional Ferran Sunyer i Balaguer Prize em 2008 (outorgado pelo Institut d'Estudis Catalans, Barcelona). É autor dos livros Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic Theory (American Mathematical Society, 2002) e Nonuniform Hyperbolicity (Cambridge University Press, 2007), ambos com Yakov Pesin, e também Stability of Nonautonomous Differential Equations (Springer, 2008), com Claudia Valls, e Dimension and Recurrence in Hyperbolic Dynamics (Birkhäuser, 2008, pelo qual recebeu o prémio Ferran Sunyer i Balaguer). É ainda autor de cerca de uma centena de artigos de investigação em matemática, incluindo de vários surveys, predominantemente em equações diferenciais, sistemas dinâmicos, teoria ergódica e análise multifractal.

ÍNDICE
PREFÁCIO 
I ANÁLISE COMPLEXA
1 NOÇÕES BÁSICAS 
1.1 Números complexos 
1.2 Forma polar 
1.3 Conjugado 
1.4 Funções complexas 
1.5 Exercícios 
2 FUNÇÕES HOLOMORFAS 
2.1 Limites e continuidade 
2.2 Diferenciabilidade 
2.3 Condição de diferenciabilidade 
2.4 Caminhos e integrais 
2.5 Primitivas 
2.6 Índice de um caminho fechado 
2.7 Fórmula integral de Cauchy 
2.8 Integrais e homotopia de caminhos 
2.9 Funções harmónicas conjugadas 
2.10 Exercícios 
3 SUCESSÕES E SÉRIES 
3.1 Sucessões 
3.2 Séries de números complexos 
3.3 Séries de números reais 
3.4 Convergência uniforme 
3.5 Exercícios 
4 FUNÇÕES ANALÍTICAS 
4.1 Séries de potências 
4.2 Zeros 
4.3 Séries de Laurent e singularidades 
4.4 Resíduos 
4.5 Funções meromorfas 
4.6 Exercícios 
II EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
5.1 Noções básicas 
5.2 Existência e unicidade de soluções 
5.3 Equações lineares: caso escalar 
5.4 Equações lineares: caso geral 
5.5 Cálculo de exponenciais de matrizes 
5.6 Exercícios 
6 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
6.1 Equações exactas 
6.2 Equações redutíveis a exactas 
6.3 Equações escalares de ordem superior a 1 
6.4 Transformada de Laplace 
6.5 Exercícios 
7 SÉRIES DE FOURIER 
7.1 Um exemplo 
7.2 Séries de Fourier 
7.3 Unicidade e ortogonalidade 
7.4 Funções pares e ímpares 
7.5 Séries de cosenos e séries de senos 
7.6 Integração e derivação termo a termo 
7.7 Exercícios 
8 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
8.1 Equação do calor e modificações 
8.2 Equação de Laplace 
8.3 Equação das ondas 
8.4 Exercícios

BIBLIOGRAFIA 
ÍNDICE REMISSIVO

Este texto está bem estruturado e os temas são abordados com detalhe e profundidade, revelando uma grande experiência e saber sobre o modo de ensinar. Apresenta numerosas figuras que constituem um complemento importante à exposição. De realçar também a inclusão, no fim de cada capítulo, de um vasto conjunto de problemas como forma de consolidação de conhecimentos e meio de auto-avaliação. Estamos, pois, perante um texto com qualidade, testado e sucessivamente melhorado ao longo de vários anos de leccionação.

Jorge Leite Martins de Carvalho
Professor Catedrático do Dep. de Engenharia de Computadores
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto


ÍNDICE

V O L U M E 1 

PREFÁCIO xv 

AGRADECIMENTOS xvii 

INTRODUÇÃO xix 

1 SISTEMAS FÍSICOS, MODELOS E REPRESENTAÇÕES 1

1.1 Estudo de Sistemas Físicos: Modelação, Representação Matemática, Análise e Projecto 3 

1.2 Exemplos de Modelação e Representação Matemática de Sistemas Físicos. 5 

1.2.1 Sistemas mecânicos 6 

1.2.2 Sistemas eléctricos 17 

1.2.3 Sistemas hidráulicos 20 

1.2.4 Sistemas térmicos 24 

1.2.5 Sistemas em economia e gestão 29 

1.2.6 Outros sistemas 37

1.3 Classificação e Caracterização dos Sistemas 40 

1.4 Representação de Entrada-Saída de SLITs. Função de Transferência 46 

1.4.1 Equação diferencial linear de ordem n 50 

1.4.2 Resposta impulsional 53 

1.4.3 Função de transferência 54 

1.4.4 Função de transferência e resposta impulsional 62 

1.4.5 Diagrama de blocos 63 

1.4.6 Pólos, zeros, polinómio característico 67 

1.4.7 Matriz de transferência 68 

1.4.8 Conceitos para SLITs discretos 70

1.5 Representação de Estado 75 

1.5.1 Variável de estado. Vector de estado. Espaço de estados 75 

1.5.2 Modelo de estado: equação de estado e de saída 80 

1.5.3 Representação gráfica do modelo de estado 92 

1.5.4 Formas canónicas (**) 94 

1.5.5 Transformação de coordenadas 105

1.6 Conversão Entre Representações 109 

1.6.1 Do modelo de estado para a matriz de transferência 110 

1.6.2 Da função de transferência para o modelo de estado 114 

1.6.3 Obtenção de formas canónicas 117

1.7 O MATLAB e a Representação de SLITs 127 

1.8 Problemas 130

2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SLITS 147 

2.1 Introdução 149 

2.2 Resposta no Tempo de SLITs Contínuos Com Representação Externa 150 

2.2.1 Valores particulares da resposta 152 

2.2.2 Cálculo da resposta 164

2.3 Casos Particulares 164 

2.3.1 SLIT de primeira ordem sem zeros 164 

2.3.2 SLIT de primeira ordem com um zero 169 

2.3.3 SLIT de segunda ordem sem zeros 171 

2.3.4 Outros casos particulares de sistemas de segunda ordem e de ordem superior 186 

2.3.5 sistemas de ordem superior. Pólos dominantes. 198

2.4 Identificação de Sistemas 201 

2.5 Resposta no Tempo de SLITs Discretos Com Representação Externa 210 

2.5.1 Valores particulares da resposta 211 

2.5.2 Cálculo da resposta 211 

2.5.3 SLIT de primeira ordem 212 

2.5.4 SLIT de segunda ordem 215

2.6 Resposta no Tempo de SLITs Contínuos Com Representação de Estado 216 

2.6.1 Solução da equação dinâmica x(t) = A(t)x(t) 217 

2.6.2 Solução da equação dinâmica x(t) = Ax(t) 224 

2.6.3 Propriedades da matriz de transição 227 

2.6.4 Sistemas dinâmicos não homogéneos. A fórmula de variação das constantes 239

2.6.5 Matriz resposta impulsional e matriz de transferência 243

2.7 Cálculo de eAt Pelo Método Directo 248 

2.8 Cálculo de eAt Com Recurso à Transformada de Laplace 249 

2.8.1 Expansão em fracções parciais de (sI - A)-1 251 

2.8.2 Cálculo de (sI - A)-1 256

2.9 Cálculo de eAt Como Função da Matriz A 264 

2.9.1 Teorema de Cayley-Hamilton 264 

2.9.2 Cálculo de eAt como combinação linear de A0, A1, ..., An-1 267

2.10 Cálculo de eAt, Usando Transformações de Semelhança 269 

2.10.1 Estrutura simples e não simples de uma matriz A 271 

2.10.2 Cálculo de eAt para matrizes de estrutura simples 273 

2.10.3 Cálculo de eAt para matrizes de estrutura não simples 278 

2.10.4 Vectores próprios generalizados de uma matriz 286 

2.10.5 Polinómios invariantes e divisores elementares de uma matriz polinomial (**) 290 

2.11 Modos de um SLIT 300

2.11.1 Interpretação dinâmica dos modos 302 

2.11.2 Os modos e a decomposição espectral da matriz A (**) 308 

2.11.3 Interpretação dinâmica dos zeros (**) 314

2.12 Resposta no Tempo de SLITs Discretos, com Representação de Estado 319 

2.12.1 Solução da equação dinâmica x(k + 1) = A(k)x(k) 319 

2.12.2 Solução da equação dinâmica x(k + 1) = Ax(k) 321 

2.12.3 Propriedades da matriz de transição 322 

2.12.4 Cálculo da matriz de transição 325 

2.12.5 Fórmula de variação das constantes 330

2.13 Amostragem e Discretização de SLITs Contínuos 331 

2.13.1 Amostragem de SLITs contínuos 334 

2.13.2 Discretização de SLITs contínuos 359

2.14 Problemas 377

ÍNDICE REMISSIVO 399

V O L U M E 2 

3 ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 411 

3.1 Introdução 413 

3.2 Função Resposta em Frequência de SLITs Contínuos 416 

3.3 Representação Gráfica da Função Resposta em Frequência de SLITs Contínuos 424 3.3.1 Diagrama de Bode 425 

3.3.2 Diagrama de Nyquist 431 

3.3.3 Diagrama de Nichols 432

3.4 Representação Assimptótica do Diagrama de Bode 432 

3.4.1 Relação amplitude-fase 455

3.5 Diagrama de Bode para Sistemas Particulares 463 

3.5.1 Sistemas de fase não mínima 464 

3.5.2 Sistemas com atraso de transporte 478

3.6 Especificações 483 

3.6.1 Largura de banda e relações tempo-frequência 484

3.7 Identificação de Sistemas 492 

3.8 Resposta em Frequência de SLITs Discretos 501 

3.8.1 Sistemas de primeira ordem 505 

3.8.2 Sistemas de segunda ordem 508 

3.8.3 Sistemas com zeros 509

3.9 Problemas 511

4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES 529 

4.1 Introdução 531

4.2 O Conceito de Estabilidade 532 

4.3 Estabilidade Interna 535 

4.3.1 Estabilidade interna para sistemas contínuos 536 

4.3.2 Estabilidade interna para sistemas discretos 547

4.4 Estabilidade Externa - no Sentido BIBO 550 

4.4.1 Critérios de estabilidade BIBO para SLITs contínuos 552 

4.4.2 Critérios de estabilidade BIBO para SLITs discretos 559

4.5 Critério de Routh-Hurwitz 560 

4.5.1 Teste de Hurwitz 561 

4.5.2 Critério de Routh 562 

4.5.3 Aplicação do critério de Routh-Hurwitz a sistemas discretos 572

4.6 Critério de Jury 573 

4.6.1 Teste de Schur Cohn 573 

4.6.2 Descrição do Critério de Jury 575 

4.7 Problemas 577

5 CONTROLABILIDADE E OBSERVABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES 585 

5.1 Apresentação dos Conceitos 587 

5.2 Controlabilidade para SLITs Contínuos 597 

5.2.1 Equivalência entre conceitos de controlabilidade/acessibilidade 602 

5.2.2 Critério de controlabilidade para SLITs contínuos 605

5.3 Observabilidade para SLITs Contínuos 621 

5.3.1 Observabilidade 621 

5.3.2 Reconstrutibilidade 626 

5.3.3 Equivalência entre os conceitos de observabilidade e de reconstrutibilidade 627 

5.3.4 Critério de observabilidade para SLITs contínuos 628

5.4 Controlabilidade para SLITs Discretos 641 

5.4.1 Critérios de controlabilidade e de acessibilidade para SLITs discretos 644

5.5 Observabilidade para SLITs Discretos 653 

5.5.1 Critérios de observabilidade e de reconstrutibilidade para SLITs discretos 655

5.6 Dualidade 666 

5.7 Controlabilidade, Observabilidade e Formas Canónicas 672 

5.8 Controlabilidade, Observabilidade e Função de Transferência 680 

5.9 Análise Modal da Controlabilidade e Observabilidade (**) 685 

5.9.1 Análise modal da controlabilidade 687 

5.9.2 Análise modal da observabilidade 688

5.10 Controlabilidade, Observabilidade e Amostragem (**) 689 

5.11 Decomposição Canónica do Espaço de Estados (**) 694 

5.11.1 Alguns resultados sobre realização 697 

5.11.2 Representação de realizações não controláveis 699

5.11.3 Representação de realizações não observáveis 702 

5.11.4 Caso geral 704

5.12 Problemas 712

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 721 

A ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR 727 

A.1 Igualdade, Adição e Multiplicação por um Escalar 730 

A.2 Multiplicação de Matrizes 731 

A.3 Transposta de Uma Matriz 731 

A.4 Determinante de uma Matriz 732 

A.5 Inversa de uma Matriz 738 

A.6 Traço de uma Matriz 741 

A.7 Valores Próprios e Vectores Próprios 742 

A.8 Decomposição Espectral de uma Matriz 748 

A.9 O MATLAB como Ferramenta de Manipulação Algébrica 753

B TABELAS DE TRANSFORMADAS 757 

C ÁLGEBRA DOS DIAGRAMAS DE BLOCOS 761 

C.1 Introdução 763 

C.2 Blocos em Cascata 764 

C.3 Forma Canónica da Realimentação 766 

C.4 Simplificação Sucessiva de Diagramas de Blocos 767 

C.4.1 Método algébrico 767 

C.4.2 Método gráfico 767

C.5 Sistemas com Mais do que uma Entrada 769

D SIMULAÇÃO 773 

D.1 Simulação Analógica 775 

D.1.1 Simulação analógica de funções de transferência 778 

D.1.2 Simulação analógica de um sistema em cadeia fechada 788 

D.1.3 Escala de tempo 789 

D.1.4 Simulação de sistemas de controlo por resolução analógica de equações diferenciais 791 

D.1.5 Escala de amplitude 796

D.2 Simulação Digital 799

E FUNÇÕES DE MATRIZES 803

F ESPAÇO DOMÍNIO E ESPAÇO NULO DE UM OPERADOR LINEAR 809 

G REGRA DE LEIBNITZ 813

ÍNDICE REMISSIVO 817

Este livro pretende ser um auxiliar do estudante ou do leitor interessado em aperfeiçoar as suas próprias capacidades de cálculo e de resolução dos problemas que normalmente são introduzidos nas disciplinas de Análise Matemática ou Cálculo dos primeiros anos das Licenciaturas em Faculdades ou Institutos Superiores nas áreas das Ciências Exactas.
A abordagem aos temas enunciados parte muitas vezes da resolução de problemas simples que permitem antever a teoria a eles subjacente ao contrário da usual prévia apresentação teórica que por vezes parece ininteligível e árida ao leitor que ainda não deitou mãos à obra de resolver alguns problemas de forma quase intuitiva. Gostamos de referir este método "às avessas" como constituindo uma aprendizagem com perspectiva histórica uma vez que a teorização e a axiomática aparecem historicamente apenas no final, depois de um imenso edifício de conhecimento ter sido já construído, com a finalidade de sistematizar e "arrumar a casa" se nos é permitida a liberdade de expressão. Sem prejuízo da liberdade do leitor parece-nos conveniente advertir que todos os exercícios, em particular os que se encontram explicados, devem de facto ser resolvidos pelo leitor que não se deve acomodar ao comportamento passivo de ler as resoluções. A maioria dos problemas torna-se de resolução "evidente" no momento em que são lidas as primeiras palavras da resolução e este comportamento por parte do leitor conduz muito frequentemente à falsa ideia de que domina os conceitos e as "manobras" correspondentes a certas matérias. O ideal seria que o leitor resolvesse sempre previamente os problemas propostos e utilizasse as resoluções apenas como um meio de confirmação. É a errar e a experimentar que se aguça o conhecimento e muitas vezes uma tentativa gorada de resolução de um problema indica claramente qual o caminho que deveria ter sido tomado desde o início, portanto experimente, tente. Todas as tentativas mal sucedidas não devem ser consideradas como tempo perdido mas sim como mais uns passos no sentido do aperfeiçoamento.

Capítulo 1 – Pré-requisitos, trigonometria, introdução ao corpo complexo, indução
1.1 - Funções trigonométricas
1.2 - Sucessões
1.3 - Números complexos
1.4 - Indução matemática. Princípio de indução em N

Capítulo 2 – Funções reais de variável real
2.1 - Generalidades
2.2 - Limites e continuidade
2.3 - Continuidade
2.4 - Derivada
2.5 - Regras de derivação
2.6 - Derivada da função composta
2.7 - Derivada da fução inversa
2.8 - Interpretação geométrica da derivada
2.9 - Diferencial
2.10 - Derivada da função implícita
2.11 - Derivada logarítmica
2.12 - Derivadas de ordem superior
2.13 - Estudo de funções
2.14 - Assimptotas
2.15 - Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy
2.16 - Técnicas de cálculo de limites: indeterminações

Capítulo 3 – Primitivas e integrais indefinidos
3.1 - Defenições, primitiva e integral indefinido
3.2 - Primitivas imediatas
3.3 - Primitivação por partes
3.4 - Frações Racionais
3.5 - Primitivas por substituição
3.6 - Substituições trignométricas
3.7 - Primitivação de funções trignométricas

Capítulo 4 – Integração
4.1 - O integral de Rieman
4.2 - Propriedades do Integral
4.3 - Fórmula de Barrow (Newton - Leibnitz)
4.4 - Integração por partes e por substituição
4.5 - Cálculo de áreas
4.6 - Derivada do Integral definido
4.7 - Integrais Impróprios
4.8 - Comprimento de curvas
4.9 - Volumes de revolução

Capítulo 5 – Testes de auto-avaliação

Anexo 1 – Breve introdução ao Mathcad
An1.1 - O que é o Mathcad
An1.2 - O ambiente de trabalho (Workspace)
An1.3 - As barras de ferramentas
An1.4 - Construindo expressões
An1.5 - As funções pré-definidas
An1.6 - Gráficos planos (X-Y)
An1.7 - Cálculo simbólico
An1.8 - Resolução de equações e inequações
An1.9 - Simplificação de expressões
An1.10 - Introduzindo texto numa folha do Mathcad
An1.11 - O Help do Mathcad
An1.12 - Recursos Online

Anexo 2 – Soluções dos problemas

Anexo 3 – Resolução dos testes propostos

ÍNDICE
explicação
dúvidas via Internet
notações
PARTE A Como resolver problemas
PARTE B Testes de auto-orientação
PARTE C Exercícios, actividades e complementos
CAPÍTULO I funções
I.1 Definição
I.2 Gráfico
I.3 Funções injectivas e funções sobrejectivas
I.4 Funções monótonas
I.5 Funções limitadas
I.6 Funções pares e funções ímpares
I.7 Funções periódicas
I.8 Mini-Atlas de funções
Actividade n.(o) 1 Teias de aranha - 1.(a) parte
a. Experimentando com a calculadora
b. Raciocinando geometricamente
Actividade n.(o) 2 A matemática e o caos
I.9 Escalas logarítmicas e escalas semilogarítmicas
I.10 Crescimento exponencial
Actividade n.(o) 3 aplicações da matemática à economia
a. Introdução
b. Os juros e a concorrência entre bancos
I.11 Miscelânea de problemas
Actividade n.(o) 4 Para conhecer os limites da calculadora
Actividade n.(o) 5 Para conhecer os limites da calculadora gráfica
CAPÍTULO II derivadas e primitivas
II.1 Definição de derivada
II.2 Interpretação geométrica da definição de derivada
II.3 A derivada como aproximação da função
II.4 Derivabilidade e continuidade
Actividade n.(o) 6
TEIAS DE ARANHA - 2.(a) parte
a. Resposta às perguntas 7 e 8 da 1.(a) parte
b. Interpretação geométrica
c. O que diz a teoria
II.5 Propriedades da derivada
II.6 Taxas de variação
II.7 Primitivas
Actividade n.(o) 7 Qual o significado das constantes de integração
a. Introdução
b. Interpretação gráfica
c. Interpretação numérica
d. Interpretação física
II.8 Cálculo de primitivas
II.9 Tabela de Primitivas
II.10 Miscelânea de problemas
CAPÍTULO III equações diferenciais elementares
III.1 Definição
III.2 Equações de variáveis separáveis
III.3 Interpretação geométrica
III.4 Mais equações de variáveis separáveis
III.5 Equações lineares de primeira ordem
III.6 Modelação matemática
Actividade n.(o) 8 Um modelo matemático: baleias e camarões
a. Retomando o problema
b. Efeitos da pesca
c. Simplificação das equações
d. Pontos de equilíbrio
e. A produção máxima sustentável
III.7 Miscelânea de exercícios
CAPÍTULO IV cálculo integral
IV.1 A noção de área de uma figura plana
IV.2 A noção de centro de massa
IV.3 A noção de integral definido
Actividade n.(o) 9 Uma introdução ao integral definido: a queda de um meteorito
a. Estimando espaços
b. Raciocinando geometricamente
IV.4 Integral definido de funções descontínuas
IV.5 Observações sobre o cálculo do integral definido
Actividade n.(o) 10 Integração no séc. XI no Egipto
a. Um pouco de história
b. ibn al-Haytham, aliás, Alhazen
c. Somas de potências
d. Parabolóide de revolução
IV.7 Generalização da definição de integral definido
IV.8 O teorema fundamental do cálculo integral
Complemento n.(o) 1 Demonstração do teorema fundamental do cálculo integral
a. Demonstração
b. Resolução gráfica de equações integrais
IV.9 Mudança de variável no integral definido
IV.10 Cálculo aproximado de integrais
IV.11 Miscelânea de problemas
CAPÍTULO V integrais impróprios
V.1 Definições
V.2 Mudança de variável
V.3 Valor principal de Cauchy
V.4 Critérios de convergência
Complemento n.(o) 2 Demonstração dos critérios de convergência
a. Demonstração do 2.(o) critério
b. Demonstração do 3.(o) critério
c. Um contra-exemplo
V.5 Miscelânea de problemas
Complemento n(o) 3 A função gama
a. O que são funções elementares?
b. O que são funções especiais?
c. Função Gama
d. Propriedades da função Gama
CAPÍTULO VI aplicações do cálculo integral
VI.1 Valor médio de uma função
VI.2 Cálculo da área de outras figuras planas
VI.3 Volume de sólidos de revolução
Actividade n.(o) 11 Mais volumes de sólidos de revolução
VI.4 Comprimentos de curvas
VI.5 Probabilidades
VI.6 Miscelânea de exercícios
Integrais e equações diferenciais
Actividade n.(o) 12 Teoremas de Pappus-Guldin
a. Introdução
b. Centros de massa de sólidos de revolução
CAPÍTULO VII coordenadas polares e paramétricas
VII.1 Coordenadas polares
VII.2 Curvas em coordenadas polares
Tabela de curvas (coordenadas polares)
Actividade n.(o) 13 Contando pétalas
Actividade n.(o) 14 Periodicidade
VII.5 Cálculo de áreas em coordenadas polares
VII.7 Curvas em coordenadas paramétricas
Tabela de curvas (coordenadas paramétricas)
Actividade n.(o) 15 Estudo da hipérbole em coordenadas paramétricas
a. Definição
b. Rotação da hipérbole
VII.9 Coordenadas polares e coordenadas paramétricas
VII.10 Revisão de cónicas
a. Definições
b. Cónicas não centradas
c. Excentricidade
d. Exercícios
Actividade n.(o) 16 Cónicas em coordenadas polares
a. Dedução das equações
b. Aplicações à Astronomia
CAPÍTULO VIII propriedades de funções contínuas, deriváveis e integráveis
VIII.0 Revisões de limites e continuidade
VIII.1 Teorema de Bolzano-Cauchy
VIII.2 Teorema de Weierstrass
VIII.3 Extremos
Complemento n.(o) 4 Diferenciais
VIII.4 Teorema de Rolle e suas consequências
VIII.5 Teorema de Lagrange e consequências
VIII.6 Indeterminações. Regra de De L'Hôpital
VIII.7 Derivação implícita. Taxas relacionadas
Um problema de Descartes
Actividade n.(o) 17 Extremando volumes
VIII.8 Desigualdades
VIII.9 Teoremas da Média
VIII.10 Derivação de Integrais Indefinidos
VIII.11 Integrais não exprimíveis como soma finita de funções elementares
A primitiva de e^(x^2) não é uma soma finita de funções elementares
Funções elípticas jacobianas
VIII.12 Miscelânea de problemas
CAPÍTULO IX fórmula de Taylor
IX.1 Aproximação numérica e gráfica com polinómios
IX.3 Fórmula de Taylor
IX.5 Operadores de Taylor
IX.6 O resto da fórmula de Taylor
IX.7 Aplicações da fórmula de Taylor
IX.8 Miscelânea de problemas
CAPÍTULO X séries numéricas
X.0 Revisões de sucessões
X.1 O que é uma série?
X.2 Primeiras propriedades
X.3 Critérios de convergência
Complemento n.(o) 5 Produtos infinitos
a. Definição
b. Condição necessária de convergência
c. Redução às séries numéricas
d. Um produto infinito para o número e
X.4 Séries alternadas
X.5 Séries e integrais
X.7 Cálculo aproximado da soma de uma série
X.8 Miscelânea de problemas
Critério de condensação de Cauchy
Série de Bertrand
Séries para o cálculo de pi
Complemento n.(o) 6 Crescimento populacional e séries numéricas
a. Taxa de fertilidade total
b. Exemplos
CAPÍTULO XI sucessões e séries de funções
XI.1 Sucessões de funções
XI.2 Séries de funções
Utilidade das séries divergentes
Outra função contínua não derivável
Uma curva contínua que preenche o plano (Curva de Peano)
CAPÍTULO XII séries de potências
XII.1 Séries de potências de x
XII.2 Séries de potências de x-a
XII.3 Operações com séries de potências
XII.4 Séries de Taylor
Complemento n.(o) 7 Teorema de Abel das séries uniformemente convergentes
a. Teorema de Abel271
b. Aplicações
XII.5 Desenvolvimentos em série
XII.6 Séries de potências e equações diferenciais
Actividade n.(o) 18 Equações diferenciais e funções de Bessel
a. Equação Diferencial de Bessel
b. Funções de Bessel
c. Funções de Bessel ortogonais
d. Séries de funções de Bessel
XII.7 Séries de potências e integrais definidos
XII.8 Miscelânea de Problemas
Fórmula de Euler
Função geradora da sucessão de Fibonacci
PARTE D Provas com questões de escolha múltipla
D.1 Exame Curto
D.2 Exame Longo
PARTE E Provas de avaliação
E.1 1.(o) teste Análise Matemática I (anual) 1985/86 (FCTUC)
E.2 1.(a) frequência Análise Matemática I (anual) 1985/86 (FCTUC)
E.3 2.(o) teste Análise Matemática I (anual) 1985/86 (FCTUC)
E.4 2.(a) frequência Análise Matemática I (anual) 1985/86 (FCTUC)
E.5 3.(o) teste Análise Matemática I (anual) 1985/86 (FCTUC)
E.6 3.(a) frequência Análise Matemática I (anual) 1985/86 (FCTUC)
E.7 Exame Análise Matemática I (anual) 1985/86 (FCTUC)3
E.8 Exame de recurso Análise Matemática I (anual) 1985/86 (FCTUC)
E.9 Prova Especial para os 15* Análise Matemática I (anual) 1985/86 (FCTUC)
E.10 1.(o) exame de frequência Matemáticas Gerais, 1938/39 (IST)
E.11 Exame final Matemáticas Gerais, 1941 (ISCEF)
E.12 Exame final Análise Matemática I (semestral), 1986/87 (IST)
E.13 1.(o) teste Análise Matemática II (semestral), 1985/86 (IST)
E.14 2.(a) frequência Análise Matemática I (anual), 1989/90 (FCTUC)
E.15 Exame de recurso Análise Matemática I (anual), 1989/90 (FCTUC)
E.16 Prova intercalar - Matemática I (anual), 1993/94 (ISCAC)
E.17 Prova intercalar Matemática I (anual), 1994/95 (ISCAC)
E.18 1.(a) frequência Análise Matemática I (anual), 1994/95 (FCTUC)
E.19 Exame Análise Matemática I (anual), 1994/95 (FCTUC)
E.20 Resolução de E.7
PARTE F Provas de avaliação simuladas
F.1 1.(o) exame para toda a matéria
F.2 2.(o) exame para toda a matéria
F.3 3.(o) exame para um curso de introdução à integração
F.4 4.(o) exame para um curso de introdução à integração
F.5 Algumas resoluções
F.1 1.(o) exame para toda a matéria
F.2 2.(o) exame para toda a matéria
F.3 3.(o) exame para um curso de introdução à integração
F.4 4.(o) exame para um curso de introdução à integração
SOLUÇÕES
Testes de orientação
Capítulo I
Capítulo II
Capítulo III
Capítulo IV
Capítulo V
Capítulo VI
Capítulo VII
Capítulo VIII
Capítulo IX
Capítulo X
Capítulo XI
Capítulo XII
Parte D
Exame Curto
Exame Longo
Parte E
E.1 1.(o) teste - Análise Matemática I, 1985/86
E.2 1.(a) frequência - Análise Matemática I, 1985/86
E.3 2.(o) teste - Análise Matemática I, 1985/86
E.4 2.(a) frequência - Análise Matemática I, 1985/86
E.5 3.(o) teste - Análise Matemática I, 1985/86
E.6 3.(a) frequência - Análise Matemática I, 1985/86
E.8 Exame de recurso - Análise Matemática I, 1985/86
E.10 1.(o) exame de frequência - Matemáticas Gerais, 1938/39
E.11 Exame final - Matemáticas Gerais, 1941
E.12 Exame final - Análise Matemática I, 1986/87
E.13 1.(o) teste - Análise Matemática II, 1985/86
E.14 2.(a) frequência - Análise Matemática I, 1989/90
E.15 Exame de recurso - Análise Matemática I, 1989/90
E.16 Prova intercalar - Matemática I, 1993/94
E.17 Prova intercalar - Matemática I, 1994/95
E.18 1.(a) Frequência - Análise Matemática I, 1994/95
E.19 Exame - Análise Matemática I, 1994/95
Parte F
F.1 1.(o) exame - para toda a matéria
F.2 2.(o) exame - para toda a matéria
F.4 4.(o) exame - para um curso de introdução à integração
Apêndice I Análise com o Mathematica(TM)
Apêndice II Iterações com calculadora gráfica
Apêndice III Recursos na Internet
Apêndice IV Errata do Livro de Texto
Índice alfabético

Nesta obra fascinante, o físico teórico Stephen Hawking clarifica as origens da física e astronomia modernas. Aos Ombros de Gigantes inclui não só a perspectiva de Hawking acerca de cinco obras pioneiras que revolucionaram a ciência, como as suas respectivas traduções, dando a conhecer ao leitor os textos de Copérnico, Galileu, Kepler, Newton e Einstein que mais marcaram a história da física e da astronomia. Aos Ombros de Gigantes é uma obra incontornável para todos os interessados na forma como a ciência se desenvolve.

Os autores deste livro são professores universitários com doutoramento em Matemática, especialidade de Álgebra.
Tendo uma experiência de leccionação de Álgebra Linear a milhares de alunos de diversas licenciaturas, este livro constitui o fruto dessa experiência. Neste livro a Álgebra Linear é apresentada, ao nível de um primeiro curso, num texto autocontido, com início pelo estudo das Matrizes, tema que a experiência de leccionação dos autores ditou ser de compreensão privilegiada. Consequentemente os restantes capítulos têm uma abordagem que explora esse tema.
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