PREFÁCIO

Este livro destina-se a servir de texto de apoio às disciplinas 
que, nos primeiros anos dos cursos superiores de engenharia, apre- 
sentam a introdução à teoria das redes eléctricas e fazem o estudo 
de circuitos electrónicos básicos. A matéria tratada corresponde ao 
primeiro semestre da sequência de disciplinas que, nestes cursos, se 
ocupa do estudo dos circuitos e sistemas electrónicos.
A rápida evolução da tecnologia, particularmente no domínio 
da electrónica e dos computadores, tem levado à criação de novas 
disciplinas, o que motivou nos actuais planos de estudo dos cursos 
de engenharia a antecipação do ensino dos circuitos e sistemas 
electrónicos para os primeiros anos. O ensino da teoria dos circui- 
tos é feito em disciplinas que ensinam também circuitos electrónicos 
simples. O presente texto tem por objectivo constituir elemento de 
estudo de tais disciplinas.
O principal critério adoptado na elaboração deste livro foi a 
busca de um elevado grau de concisão, sem prejuízo do rigor e da 
coerência lógica. Entende-se que o que valoriza o programa de 
uma disciplina, ou um livro de texto que lhe sirva de apoio, não é a 
inclusão de um conjunto muito completo e variado de tópicos. É, 
antes, uma selecção muito cuidada dos assuntos tratados e da sua 
sequência, com ênfase nos princípios e métodos fundamentais. 
A escolha deste tipo de abordagem é incentivada pela actual com- 
pressão do espaço atribuído às matérias tratadas neste livro.



Índice

1. REDES RESISTIVAS
1.1. Redes de Parâmetros Concentrados
1.2. Variáveis das Redes Eléctricas
1.3. Elementos Resistivos
1.4. Leis de Kirchhoff
1.5. Teoremas
1.6. Método dos Nós
1.7. Redes com Vários Acessos
Problemas

2. REDES REACTIVAS
2.1. Elementos Reactivos
2.2. Redes de La Ordem
2.3. Redes de 2: Ordem
2.4. Regime Forçado Sinusoidal
2.5 Funções de Rede
Problemas

3. AMPLIFICADOR OPERACIONAL
3.1. Características Ideais
3.2. Funcionamento Linear
3.3. Funcionamento Não-Linear
3.4. Características Não-Ideais
3.5. Elementos Singulares
Problemas

4. DÍODOS
4.1. Díodo de Junção
4.2. Rectificadores
4.3. Reguladores de Tensão
4.4. Rectificadores de Precisão
4.5. Amplificadores Logarítmicos e Exponenciais
4.6. Limitadores e Fixadores
4.7. Modelo Incremental
Problemas

5. REALIMENTAÇÃO E ESTABILIDADE
5.1. Realimentação Negativa
5.2. Quatro Topologias Básicas
5.3. Estabilidade
5.4. Compensação
5.5. Osciladores Sinusoidais
Problemas

Apêndice 1: NÚMEROS COMPLEXOS
Apêndice 2: PROBLEMAS ADICIONAIS
Apêndice 3: SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS
Bibliografia

PREFÁCIO
RESUMO DE NOTAÇÕES

1.a PARTE - NÚMEROS REAIS, SUCESSÕES E SÉRIES
I. Números Reais
I.1 Propriedades básicas dos números reais
I.2 Noções topológicas no conjunto dos reais
Exercícios
II. Sucessões e Séries Reais
II.1 Sucessões
II.2 Séries
Exercícios

2.a PARTE – FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
III. Funções Contínuas. Limites.
III.1 Funções reais de variável real. Generalidades e Exemplos
III.2 Continuidade e limite
Exercícios
IV. Cálculo Diferencial
IV.I Derivação. Teoremas fundamentais
IV.2 Complementos e aplicações dos teoremas fundamentais
IV.3 Primitivação
Exercícios
V. Cálculo Integral
V.1 Integral de Riemann. Teoremas fundamentais
V.2 Outra definição do integral de Riemann. Complementos e aplicações
V.3 Integrais impróprios
Exercícios
Soluções abreviadas de alguns exercícios

Este livro foi pensado para servir de texto de apoio às disciplinas que tratam de Álgebra Linear, sejam elas semestrais ou anuais, em cursos de Engenharia, Economia, Ciências e Matemática. Com esse objectivo, a apresentação dos assuntos é feita de maneira sistemática e rigorosa, mas de forma modular. Inicialmente é abordada a parte mais concreta da Álgebra Linear: matrizes, sistemas e determinantes. Continua-se com o estudo de ?n e seus subespaços, do ponto de vista vectorial e métrico, e com breve referência ao caso abstracto. Segue-se a Geometria Analítica do 1.º grau e um longo capítulo sobre vectores próprios e valores próprios, incluindo algumas aplicações interessantes, como a compressão de imagens usando a decomposição dos valores singulares, os sistemas dinâmicos lineares discretos, a análise de componentes principais em Estatística e o funcionamento do Google. O material coberto nestes sete primeiros capítulos é adequado para nele se basear uma disciplina semestral. Os capítulos finais são dedicados à Álgebra Linear abstracta, estudando-se os espaços vectoriais gerais sobre corpos arbitrários (incluindo os espaços de dimensão infinita), as transformações lineares entre eles e os espaços com produto interno.

Este livro foi preparado especificamente para uma primeira disciplina semestral de Álgebra Linear para alunos do primeiro ano das licenciaturas em Engenharia, Física ou Matemática do IST (Universidade Técnica de Lisboa), onde tem sido utilizado desde 1985 em versões que foram revistas de ano para ano até se chegar à forma presente.

Este livro constitui uma valiosa contribuição para a aprendizagem de matérias que integram vários planos curriculares de cursos de Engenharia. Com efeito, a Dinâmica Analítica é um assunto importante em várias disciplinas desses cursos e por esse motivo é sempre bem vinda uma obra em língua portuguesa. Obras como esta permitem estimular o interesse para o estudo da Dinâmica e melhorar a compreensão dos fenómenos a ela ligados.

PREFÁCIO

1 NOTA HISTÓRICA

1.1 Os Antigos

1.2 A Época de Galileu

1.3 Newton e Alguns Contemporâneos Seus

1.4 D´ Alembert, Euler, Lagrange e Hamilton

2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS

2.1 Introdução

2.2 Princípios Fundamentais da Mecânica Vectorial

2.2.1 Princípio da inércia de Galileu

2.2.2 Princípio do momentum

2.2.3 Princípio da acção e reacção

2.2.4 Princípio da sobreposição

2.3 Trabalho

2.3.1 Funções de estado, Pfaffianos, diferenciais exactas e forças conservativas

2.4 Trabalho e Energia Potencial

2.4.1 Energia potencial gravítica

2.4.2 Energia potencial devida a uma força gravitacional

2.4.3 Energia potencial elástica

2.5 Trabalho e Energia Cinética

2.6 Princípio da Conservação da Energia

2.7 Graus de Liberdade

2.8 Problemas

3 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS. PRINCÍPIO DE D´ALEMBERT. PRINCÍPIO DE HAMILTON

3.1 O Princípio dos Trabalhos Virtuais em Estática

3.2 Princípio de D´Alembert. Extensão do Princípio dos Trabalhos Virtuais à Dinâmica

3.3 Princípio de Hamilton

3.3.1 Do princípio dos trabalhos virtuais ao princípio de Hamilton

3.4 Problemas

4 EQUAÇÕES DE LAGRANGE

4.1 Graus de Liberdade, Constrangimentos e Coordenadas Generalizadas

4.1.1 Ligações holónomas

4.1.2 Ligações anolónomas

4.2 Do Princípio de Hamilton às Equações de Lagrange

4.2.1 Energia cinética como função de q, dot{q} e t

4.2.2 Multiplicadores de Lagrange

4.3 Problemas

5 EQUAÇÕES DE HAMILTON

5.1 Introdução

5.2 Hamiltoniana de um Sistema

5.3 Equações de Hamilton

5.4 Outras Propriedades da Hamiltoniana

5.4.1 Variação da Hamiltoniana com o tempo

5.4.2 Hamiltoniana explicitamente em termos de T e V

5.5 Problemas

6 PRINCÍPIO DE HAMILTON E EQUAÇÕES DE LAGRANGE NA ANÁLISE DE SISTEMAS CONTÍNUOS

6.1 Introdução

6.2 Formulação da Equações de Equilíbrio Dinâmico Usando o Princípio de Hamilton

6.3 Formulação das Equações de Equilíbrio Dinâmico Usando as Equações de Lagrange

6.4 Problemas

BIBLIOGRAFIA

ÍNDICE REMISSIVO

Um livro introdutório de estatística que inclui um estilo de escrita amigável, conteúdo que reflete as características importantes de um curso introdutório moderno de estatística, o uso da tecnologia computacional mais recente, de conjuntos de dados interessantes e reais, e abundância de componentes pedagógicos. O CD-ROM inclui os conjuntos de dados do Apêndice B do livro. Esses conjuntos de dados encontram-se armazenados em formato texto, planilhas do Minitab, planilhas do Excel e uma aplicação para a calculadora TI-83. Inclui também programas para a calculadora gráfica TI-83 Plus®, o Programa Estatístico STATDISK (Versão 9.1) e um suplemento do Excel, desenvolvido para aumentar os recursos dos programas estatísticos do Excel.
Conteúdo
Capítulo 1: Introdução à Estatística
Capítulo 2: Descrição, Exploração e Comparação de Dados
Capítulo 3: Probabilidade
Capítulo 4: Distribuições de Probabilidade
Capítulo 5: Distribuições de Probabilidade Normais
Capítulo 6: Estimativas e Tamanhos Amostrais
Capítulo 7: Teste de Hipótese
Capítulo 8: Inferência a Partir de Duas Amostras
Capítulo 9: Correlação e Regressão
Capítulo 10: Experimentos Multinomiais e Tabelas de Contingência
Capítulo 11: Análise de Variância
Capítulo 12: Estatística Não-paramétrica
Capítulo 13: Controle Estatístico de Processo
Capítulo 14: Projetos, Procedimentos e Perspectiva
Apêndice A: Tabelas
Apêndice B: Conjuntos de Dados
Apêndice C: Referência para a TI-83 Plus
Apêndice D: Glossário
Apêndice E: Bibliografia
Apêndice F: Respostas dos Exercícios de Números Ímpares (e de TODOS os Exercícios de Revisão e Exercícios de Revisão Cumulativa)

Prefácio à nova edição

Quando, em 1992, escrevíamos a «Introdução à Física», havia duas re- 
ferências para nós sagradas. Tratava-se de dois físicos e, ao mesmo tempo, de 
dois grandes renovadores do ensino da Física. Um era o soviético Lev Landau 
(1908-1968), o outro o norte-americano Richard Feynman (1918-1988). 
De um queríamos extrair o rigor, ao outro queríamos ir buscar a clareza. 
Ambicionávamos o rigor sem austeridade e a clareza sem superficialidade. 
Nem mais nem menos!
Ainda hoje não sabemos até que ponto conseguimos alcançar esse objec- 
tivo. O livro, quando surgiu, causou algum espanto. Houve, naturalmente, 
os mais conservadores, que não gostaram. E houve, também, os mais dis- 
traídos, talvez, que gostaram. Ao apresentarmos a edição de 2000 queremos 
reafirmar que a nossa ambição continua a ser a mesma: trabalhar dentro 
das balizas do rigor e da clareza.
Tal implica que a lógica e as preocupações formais na apresentação têm 
de ser temperadas com o recurso à intuição e aos exemplos práticos. Salva- 
guardando as duas faces daquele saber que leva ao saber fazer.

Indice

Sobre os autores 
Prefácio à nova edição 
Prefácio à 2a edição

1 Espaço e tempo. Escalas e medições 
1.1 Introdução
1.2 A história de Newton
1.3 O espaço-tempo
1.4 Medir distâncias
1.5 Medir intervalos de tempo 
1.6 Os limites da medição
1. 7 Os erros da medição
1.8 Resumo do capítulo
Problemas
Soluções

2 As ondas: transmissão de informação
2.1 As ondas: ver e ouvir
2.2 Como descrever uma onda?
2.3 Equação das ondas
2.3.1 Ondas sonoras num tubo de ar
2.3.2 Corda vibrante
2.4 Algumas características gerais das ondas
2.4.1 Ondas transversais e longitudinais
2.4.2 Polarização
2.4.3 Efeito Doppler
2.4.4 Ondas progressivas e ondas estacionárias
Sobreposição das ondas
2.4.5 Dispersão
2.5 Princípio de Huygens
2.5.1 Reflexão
2.5.2 Refracção
2.5.3 Interferências
2.5.4 Difracção
2.5.5 Raios X e estudo das moléculas
2.6 Óptica geométrica
2.6.1 Distância focal no caso de uma superfície esférica de separação
entre dois meios
2.6.2 Distância focal de uma lente delgada
2.7 Resumo do capítulo
Problemas
Soluções

3 Das simetrias no espaço-tempo à Mecânica
3.1 Simetrias e invariâncias
3.2 O princípio variacional de Hamilton e a Mecânica
3.3 Regresso a Newton
3.4 Graus de liberdade e coordenadas generalizadas
3.5 A energia mecânica
3.5.1 A conservação da energia mecânica num sistema isolado
3.5.2 Forças exteriores e variação da energia mecânica
3.5.3 O campo gravítico
3.6 O momento linear
3.6.1 Conservação do momento linear
3.6.2 Sistemas de massa variável
3.6.3 Choque de partículas
3.6.4 A noção de centro de massa
3.7 O momento angular
3.7.1 Conservação do momento angular
3.7.2 O momento de inércia
3.7.3 Variação do momento angular: o momento de forças exteriores
3.7.4 Campo de forças central e leis de Kepler
3.8 Leis de conservação
3.9 Estabilidade de sistemas. Movimentos oscilatórios
3.9.1 Estabilidade
3.9.2 O oscilador harmónico
3.9.3 O oscilador com atrito (amortecido)
3.10 Oscilador forçado
3.10.1 O caso de muitos osciladores: meios elásticos
3.11 Resumo do capítulo
Problemas
Soluções

4 A relatividade de Galileu a Einstein
4.1 Referenciais acelerados e referenciais de inércia
4.1.1 Forças de inércia
4.1.2 Transformação de Galileu
4.2 A velocidade da luz no vácuo
4.2.1 Comparação entre luz e som
4.2.2 A experiência de Michelson-Morley
4.3 A relatividade de Einstein (1905)
4.3.1 As dificuldades a resolver
4.3.2 Os postulados de Einstein
4.3.3 Consequências dos postulados de Einstein
4.4 A transformação de Lorentz
4.4.1 Transformação de Lorentz para as coordenadas
4.4.2 Transformação de Lorentz para as velocidades
4.4.3 O efeito de Doppler relativista
4.5 Momento linear e energia na relatividade restrita
4.5.1 O momento linear
4.5.2 A energia
4.5.3 Transformação de Lorentz para o momento e a energia
4.5.4 Colisão inelástica
4.5.5 Energia nuclear
4.6 Resumo do capítulo
Problemas
Soluções

5 Partículas e campos. Campo electromagnético
5.1 As interacções fundamentais da Natureza
5.2 A noção de campo. O campo electrostático
5.2.1 O campo criado por um sistema de cargas estacionárias
5.2.2 O teorema de Gauss
5.2.3 Condutores e condensadores
5.2.4 As leis do campo electrostático
5.3 A corrente eléctrica
5.4 O campo magnético
5.4.1 O campo magnético como um efeito relativista
5.4.2 Força de Lorentz
5.4.3 A lei de Biot-Savart
5.4.4 Teorema de Gauss para o campo magnetostático
5.4.5 Lei de Ampere
5.4.6 As leis do campo magnetostático
5.5 Indução electromagnética
5.5.1 A lei de Faraday
5.5.2 Aplicações da indução electromagnética
5.6 Circuitos eléctricos
5.6.1 Elementos de um circuito eléctrico
5.6.2 A resolução de circuitos eléctricos
5.7 As leis do campo electromagnético
5.7.1 Descrição local do campo electromagnético
5.7.2 A corrente de deslocamento
5.7.3 As equações de Maxwell
5.8 Ondas electromagnéticas
5.8.1 Equações das ondas electromagnéticas
5.8.2 Energia de uma onda electromagnética
5.8.3 Produção de ondas electromagnéticas
5.8.4 Polarização de ondas electromagnéticas
5.9 Campos eléctricos na presença de matéria
5.9.1 Polarização de dieléctricos
5.9.2 Equações do campo eléctrico na presença de matéria
5.10 Campo magnético na presença de matéria
5.10.1 Substâncias paramagnéticas
5.10.2 Substâncias ferromagnéticas
5.10.3 Substâncias diamagnéticas
5.10.4 As leis do campo magnético na presença de matéria
5.11 Equações de Maxwell na presença de matéria
5.12 Resumo do capítulo
Problemas
Soluções

6 Termodinâmica
6.1 Introdução
6.2 Trabalho e calor
6.2.1 Equivalência entre calor e trabalho
6.2.2 Máquinas térmicas
6.2.3 Capacidade calorífica e calor específico
6.2.4 Calor latente
6.3 Temperatura
6.3.1 Expansão térmica
6.3.2 Termómetros de álcool e mercúrio
6.3.3 Termómetro de gás
6.4 Propriedades gerais das substâncias
6.4.1 Os estados da matéria
6.5 O gás perfeito
6.5.1 Relação entre a temperatura e a energia cinética média
6.5.2 Energia interna e calor específico dos gases perfeitos
6.5.3 Calor específico a pressão constante
6.6 Previsão clássica do calor específico dos sólidos: lei de Dulong e Petit
6.7 Gases reais: equação de van der Waals
6.8 Os princípios da Termodinâmica
6.8.1 O equilíbrio térmico: o princípio «zero» da Termodinâmica
6.8.2 Primeiro princípio da Termodinâmica
6.8.3 Segundo princípio da Termodinâmica
6.8.4 Princípios de mínimo e de máximo e potenciais termodinâmicos
6.8.5 Terceiro princípio da Termodinâmica
6.9 Física estatística e Termodinâmica
6.9.1 Noção de entropia
6.9.2 Os postulados da Física estatística
6.9.3 Equilíbrio térmico
6.9.4 A distribuição de Boltzmann
6.9.5 Distribuição de velocidades num gás em equilíbrio térmico à temperatura T
6.9.6 Variação da pressão com a altitude (aproximação isotérmica)
6.9.7 Princípio da equipartição de energia
6.9.8 Paramagnetismo
6.10 Estatísticas clássica e quântica
6.11 Transmissão de energia térmica
6.11.1 Condução
G .11. 2 Convecção
6.11.3 Radiação
6.12 Resumo do capítulo
Problemas
Soluções

7 Introdução à Mecânica Quântica
7.1 As dificuldades da Física clássica
7.1.1 A radiação do corpo negro
7.1.2 O efeito fotoeléctrico
7.1.3 A difusão de Compton
7.1.4 As ondas de matéria
7.1.5 Os espectros atómicos
7.2 O átomo de Bohr
7.3 O princípio de incerteza (Heisenberg)
7.4 A equação de Schrodinger
7.4.1 A «construção» da equação de Schrodinger
7.4.2 A partícula livre
7.4.3 Quantificação numa caixa
7.4.4 Partícula no potencial do oscilador harmónico
7.4.5 Propriedades térmicas dos metais
7.4.6 O átomo de hidrogénio
7.5 A experiência de Stern-Gerlach e o spin
7.6 A estrutura da matéria
7.6.1 A estrutura atómica e o quadro periódico
7.6.2 Ligação química
7.6.3 Condutividade dos metais
7.6.4 Rotações e vibrações nas moléculas
7.7 Resumo do capítulo
Problemas
Soluções

A Introdução à computação em Física
A.l Introdução
A.1.1 Utilização do computador em Física
A.1.2 Análise numérica e manipulação simbólica
A.1.3 Simulação
A.1.4 Visualização dos resultados
A.2 Algoritmos
A.2.1 O método de Euler
A.2.2 Método Runge-Kutta de 4a ordem
A.2.3 Método predictor-corrector
A.2.4 Controlo adaptativo do passo em métodos de passo simples
A.2.5 Os métodos de Monte Cario
Bibliografia
Índice remissivo

Como explicar a Física Quântica a um nível suficientemente simples
para que um estudante do primeiro ano de uma licenciatura em Ciências ou Engenharia possa entender?

A Física Contemporânea oferece-nos a explicação de toda a tecnologia que usamos;
como a ensinar de um modo tecnicamente rigoroso e útil para a compreensão do mundo que nos rodeia?

Este livro oferece uma oportunidade para responder a estas duas questões.

Índice

Prefácio

Introdução aos movimentos periódicos
A importância dos movimentos periódicos
Tipos de movimentos periódicos
Propriedades dos movimentos periódicos
Questões de notação

Ondas
As ondas no nosso dia-a-dia
Em que consiste uma onda
Tipos de ondas
Equações de onda
Ondas Harmónicas
A propagação das ondas

Fenómenos ondulatórios
Interferência
Difracção
Polarização
Ondas Estacionárias
Efeito Doppler

Princípios da Física Quântica
Introdução
Natureza da Física Quântica
Como funciona a Física Quântica
Entrelaçamento e correlação

Física Quântica de uma partícula
Postulados da Mecânica Quântica
para uma partícula
A função de onda
A equação de Schrödinger
Contracção da função de onda
Momento angular
Spin
Algumas soluções da equação de Schrödinger

Espectroscopia
Rotação
Vibração
Transições electrónicas
Sólidos
Corpo negro
Plasmas

Física Nuclear
Estados excitados do núcleo
Principais formas de decaimento
Reacções em cadeia
Fusão Nuclear

Constituição da matéria
Introdução
O protão
Antipartículas
Mesões e Bariões
O modelo Standard (Padrão)

Interacções
Interacção forte
Interacção Fraca
Resumo das interacções
Diagramas de interacção

ÍNDICE
INTRODUÇÃO À FÍSICA ESTATÍSTICA xiii
1 PASSEIO ALEATÓRIO 1
1.1 Probabilidades: definições elementares 3
1.2 Variáveis aleatórias e funções de distribuição 5
1.3 Passeio aleatório simples 9
1.3.1 Distribuição binomial 9
1.3.2 Distribuição de Gauss 12
1.3.3 Distribuição de Poisson 16
1.4 Passeio aleatório: caso geral 17
1.4.1 Distribuições conjuntas para várias variáveis aleatórias 17
1.4.2 Resultados gerais para o passeio aleatório a uma dimensão 19
1.4.3 Passeio aleatório a três dimensões 21
1.5 Método de Monte Carlo de amostragem de passeios aleatórios * 25
Apêndice A 33
A.1 — Cálculo de integrais da forma   33
A.2 — Cálculo de integrais da forma  34
A.3 — Cálculo de integrais da forma  36
Apêndice B: Fórmula de Stirling 36
Problemas 38
Referências 41
2 TERMODINÂMICA ESTATÍSTICA — FUNDAMENTOS 43
2.1 Introdução 45
2.2 Revisão dos conceitos básicos da Termodinâmica do equilíbrio 47
2.2.1 As Leis da Termodinâmica 47
2.2.2 Potenciais termodinâmicos. Relações de Maxwell 53
2.2.3 Funções de resposta termodinâmicas 56
2.2.4 Sistemas magnéticos 59
2.2.5 Sistemas eléctricos * 61
2.3 Postulados da Física Estatística 64
2.4 Sistema isolado 69
2.4.1 Colectividade microcanónica 69
2.4.2 Conexão com a Termodinâmica. Entropia 70
2.4.3 Condições de equilíbrio num sistema isolado 72
2.4.4 Processos infinitesimais quase-estáticos 79
2.4.5 Sólido paramagnético isolado 81
2.5 Condições gerais de equilíbrio. Potenciais termodinâmicos 87
2.5.1 Sistema isolado 87
2.5.2 Critério geral de equilíbrio 88
2.5.3 Sistema em equilíbrio com um reservatório de temperatura 90
2.5.4 Sistema em equilíbrio com um reservatório de temperatura e de pressão 90
2.5.5 Sistema isolado em equilíbrio com um reservatório de pressão 91
2.5.6 Transformação de Legendre. Formulação geral das condições de equilíbrio * 92
2.5.7 Equilíbrio de fases 94
Problemas 100
Referências 103
3 TERMODINÂMICA ESTATÍSTICA — DESENVOLVIMENTOS E APLICAÇÕES 105
3.1 Introdução 107
3.2 Sistema em equilíbrio com um reservatório de temperatura 107
3.2.1 Colectividade canónica 107
3.2.2 Valor médio e variância da energia 111
3.2.3 Processos infinitesimais quase-estáticos. Conexão com a Termodinâmica 112
3.2.4 Terceira Lei 117
3.3 Sólido ideal 117
3.3.1 Paramagnetismo 118
3.3.2 Arrefecimento magnético 128
3.3.3 Vibrações térmicas da rede cristalina. Modelo de Einstein 130
3.4 Sistema em equilíbrio com um reservatório de temperatura e de partículas 133
3.4.1 Colectividade macrocanónica 133
3.4.2 Termodinâmica da distribuição macrocanónica 135
3.4.3 Flutuações do número de partículas 137
3.5 Sistema em equilíbrio com um reservatório de temperatura e de pressão * 140
3.5.1 Colectividade isotérmica-isobárica 140
3.5.2 Conexão com a Termodinâmica 141
3.5.3 Flutuações do volume 141
3.6 Equivalência termodinâmica das colectividades 142
Problemas 144
Referências 146
4 GÁS IDEAL CLÁSSICO 147
4.1 Contagem dos estados 149
4.2 Estatística de Maxwell-Boltzmann 152
4.3 Função de partição do gás no regime clássico 157
4.4 Função de partição de uma partícula 158
4.5 Termodinâmica do gás ideal clássico 162
4.6 Critério de validade do regime clássico 165
4.7 Distribuição de Maxwell-Boltzmann 167
4.8 Gás num campo uniforme 169
4.9 Gás real 171
Apêndice A: Espaço das fases. Densidade de estados 177
Apêndice B: Teorema de Liouville em mecânica clássica 182
Apêndice C: Teorema da equipartição 186
Problemas 187
Referências 189
5 GÁS IDEAL QUÂNTICO 191
5.1 Sistemas de partículas idênticas * 193
5.2 Estatísticas quânticas 195
5.3 Limite clássico 200
5.4 Aproximação dos estados contínuos 201
5.5 Gás ideal no limite clássico 202
5.6 Gás perfeito de fermiões 205
5.6.1 Gás de electrões livres 208
5.7 Gás perfeito de bosões 212
5.7.1 Condensação de Bose-Einstein 214
5.7.2 Gás de fonões 219
5.7.3 Gás de fotões 228
Problemas 235
Referências 238
6 MAGNETISMO 239
6.1 Modelo de Heisenberg * 242
6.2 Modelo de Weiss 250
6.3 Teoria de Landau 258
6.4 Ferrimagnetismo e antiferromagnetismo 266
6.5 Excitações elementares: ondas de spin, gás de magnões 270
6.6 Modelo de Ising 275
6.7 Simulações de Monte Carlo usando o modelo de Ising * 279
6.8 Outros modelos de Ising 292
Problemas 295
Referências 296
7 CRISTAIS LÍQUIDOS 299
7.1 Generalidades 301
7.2 Teoria e modelo de Maier-Saupe 305
7.3 Teoria e modelo de Onsager 316
7.4 Teoria de Landau-de Gennes 324
7.5 Simulações de Monte Carlo usando o modelo de Lebwohl-Lasher * 327
Problemas 336
Referências 336
8 TRANSIÇÕES DE FASE E FENÓMENOS CRÍTICOS 339
8.1 Fases e transições de fase 341
8.2 Ordem de uma transição de fase 342
8.3 Pontos críticos e expoentes críticos 345
8.3.1 Definição de expoentes críticos 347
8.3.2 Principais expoentes críticos 348
8.3.3 Desigualdades envolvendo expoentes críticos 352
8.4 Teorias clássicas das transições de fase: universalidade 353
8.4.1 Teoria de Van der Waals da transição líquido-vapor 353
8.4.2 Teoria de Curie-Weiss do ferromagnetismo 361
8.4.3 Teoria de Landau das transições de fase: universalidade 362
8.5 A revolução de Onsager 362
8.5.1 Solução exacta do modelo de Ising a duas dimensões 362
8.5.2 Outros resultados exactos e aproximados 366
8.6 Reconciliação da teoria clássica com os resultados experimentais e com os resultados exactos: a hipótese de escala 368
8.7 Critério de Ginzburg 372
8.8 Breve referência às ideias do grupo de renormalização 373
Problemas 374
Referências 375
9 PROCESSOS IRREVERSÍVEIS 377
9.1 Difusão 379
9.2 Movimento Browniano 384
9.3 Equação de Fokker-Planck * 392
Apêndice A: Função 
 de Dirac 402
Problemas 403
Referências 405

PREFÁCIO
A disciplina a que se referem estas notas começou por constar dos planos de estudo das Licenciaturas em Física, Engenharia Cerâmica e do Vidro e Ensino de Físico- Química da Universidade de Aveiro, cujos alunos pouco ou nenhum contacto tinham tido com ideias da Física Moderna. Embora a leccionação se tenha depois estendido aos cursos de Engenharia Física e Engenharia dos Materiais e, como opção, a outras licenciaturas, o nível de conhecimento dos alunos, à chegada, é idêntico. Isto significa que se trata de um curso introdutório, onde o primeiro objectivo deve ser o de promover a familiarização com os conceitos essenciais de Física que foram desenvolvidos ao longo deste século e que são totalmente distintos dos conceitos da Física Clássica.
Esta situação, com consequências ao nível da linguagem, e o facto dos fenómenos quânticos ocorrerem à dimensão atómica ou subatómica, acarreta dificuldades específicas ao ensino de uma disciplina de Física Moderna. A representação dos conceitos desta nova Física é delicada porque os alunos, ao contrário do que sucede na aprendizagem da Física Clássica, não dispõem, à partida, de referências decorrentes da sua experiência da vida diária. Pretendeu-se ter em conta esta realidade, ao mesmo tempo que se quis tirar partido da relativa simplicidade das ideias quânticas básicas, mau grado o que ficou dito, quando comparada com a complexidade do formalismo matemático que lhe está associado.
Nesse sentido, tentou dar-se o máximo de visibilidade aos conceitos base, privilegiando, sempre que possível, a via intuitiva e argumentos de plausibilidade para a sua apresentação e desenvolvimento à custa da menorização de caminhos lógico-dedutivos mais matematizados. Tanto mais que, aparecendo a disciplina no segundo ano, os alunos não adquiriram ainda o conjunto de ferramentas físico- matemáticas suficientes para poderem, tecnicamente, enfrentar uma Física Quântica mais formal. Assim, por exemplo, os postulados aparecem no final da parte dedicada à Mêcanica Quântica, apenas como síntese das ideias apresentadas anteriormente.
Um segundo aspecto a realçar na formação com que os alunos chegam à disciplina, reside no facto de terem tido apenas contacto com uma Física (Mecânica Newtoniana, Electromagnetismo) essencialmente acabada e completa. O conceito de aproximação e a sensibilidade para as condições de validade de um modelo são-lhes, em geral, estranhos. Houve, em consequência, a preocupação de contribuir para minorar essa lacuna, constituindo essa preocupação um segundo objectivo presente na leccionação e que se procurou transportar para estes apontamentos.

5
Sendo um dado adquirido que os alunos aparecem na disciplina em situações curriculares semelhantes, o seu percurso subsequente é bastante diferente. Só os alunos de dois cursos vão ter a seguir uma disciplina de Mecânica Quântica e apenas os de um têm Física Estatística, posteriormente, no seu curriculo. Embora a maioria venha depois a frequentar aulas na área da Física do Estado Sólido, trata-se de disciplinas de índole muito diversa. Isto é, enquanto nalguns casos a disciplina aborda pela última vez certos tópicos, noutros ela deve constituir uma base articulada com o que se segue.
Esta situação condicionou fortemente a escolha do programa sendo questão a de, face a ela e aos objectivos antes enunciados, encontrar uma situação o mais equilibrada possível. Não figurando no plano de estudos dos alunos, como obrigatória, nenhuma disciplina de Física Atómica ou Molecular, decidiu-se que a inclusão de um capítulo desta área, com particular ênfase em espectrocopia e aparecendo como ilustração das ideias quânticas apresentadas nos capítulos anteriores, seria adequada e útil. Ao mesmo tempo, o contraponto entre o sucesso da nova mecânica e os problemas da velha teoria de Bohr poderão ajudar o aluno a vislumbrar com maior clareza a importância e o método da Física Quântica.
O capítulo de Física Estatística foi, embora seguindo o mesmo tipo de abordagem, apresentado de um modo particularmente sintético e pragmático. No entanto, está subjacente uma estreita ligação com o capítulo seguinte onde, a pretexto do estudo de alguns problemas da Física da Matéria Condensada, se aplicam imediatamente os conceitos introduzidos, de modo a obter alguma solidez.
O facto do número de horas teóricas lectivas previstas ser inferior a trinta significa que, no decurso de um semestre normal, os capítulos subsidiários (terceiro e quinto) só poderão ser parcialmente abordados. A sua estruturação como um conjunto de exemplos, no essencial independentes, da aplicação da teoria anteriormente descrita permite contudo ao professor (e aos alunos) escolhas que se revelem as mais apropriadas, inclusive como exercícios teorico-práticos. A apresentação das matérias é complementada com exercícios, no final de cada capítulo, os quais não houve tempo, nem de trabalhar, nem de hierarquizar de maneira a serem apresentadas resoluções, pistas ou soluções.
Não havendo, na área que este livro aborda e na profundidade com que o faz, grande espaço para a inovação pretendeu-se, prioritariamente, contribuir para que a aprendizagem de conceitos, não visualizáveis em termos das nossas representações habituais, fosse a mais eficaz, mais estimulante e mais atraente possível.
A colaboração dos meus amigos José Carlos Lopes, José Carlos Azevedo e António Luís Ferreira foi preciosa pelo que lhes é devida uma palavra de apreço.

ÍNDICE
ALGUNS FACTOS RELEVANTES ANTERIORES À TEORIA QUÂNTICA ........................11 1. A NATUREZA ONDULATÓRIA DA MATÉRIA
1.1. FÍSICA CLÁSSICA E FÍSICA MODERNA ........................................................................... 13 1.2. O EFEITO FOTOELÉCTRICO ............................................................................................... 14 1.3. O EFEITO COMPTON ............................................................................................................ 17 1.4. OUTRAS MANIFESTAÇÕES DO CARÁCTER DUAL DA RADIAÇÃO
ELECTRO-MAGNÉTICA ........................................................................................................ 22 1.5. DUALISMO ONDA PARTÍCULA. RELAÇÕES DE DE BROGLIE....................................25 1.6. A FUNÇÃO DE ONDA ........................................................................................................... 27
PROBLEMAS ..................................................................................................................................... 31
2. PRINCÍPIOS DE MECÂNICA QUÂNTICA
2.1. FUNÇÃO DE ONDA E TREM DE ONDAS .......................................................................... 37 2.2. CONDIÇÃO DE NORMALIZAÇÃO ..................................................................................... 40 2.3. PRINCÍPIO DE INCERTEZA OU DE INDETERMINAÇÃO DE HEISENBERG ............... 40
. 2.3.1.  Determinação do produto !P!x no caso de uma distribuição rectangular dos
momentos ........................................................................................................................41
. 2.3.2.  Determinação do produto "t no caso de uma distribuição rectangular das
frequências ......................................................................................................................42
. 2.3.3.  Análise de uma experiência de medida ........................................................................... 43
. 2.3.4.  Relações de Heisenberg ................................................................................................... 45
2.4. VELOCIDADE DO CORPÚSCULO E VELOCIDADE DE GRUPO DO TREM
DE ONDAS ASSOCIADO ...................................................................................................... 46 2.5. PARTÍCULA NUMA CAIXA .................................................................................................47 2.6. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER ....................................................................................... 51 2.7. RESTRIÇÕES ÀS FUNÇÕES DE ONDA .............................................................................. 53 2.8. POÇO DE POTENCIAL FINITO ............................................................................................ 54 2.9. SALTO DE POTENCIAL ........................................................................................................ 58 2.10. O OSCILADOR LINEAR HARMÓNICO ............................................................................ 61 2.11. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER A TRÊS DIMENSÕES .................................................. 63 2.12. NÍVEIS DE ENERGIA E DENSIDADE DE ESTADOS ...................................................... 64 2.13. VALOR ESPERADO (MÉDIO) DE UMA GRANDEZA ....................................................70 2.14. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER DEPENDENTE DO TEMPO ..................................... 73 2.15. RESUMO DOS PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS. OS POSTULADOS ............................. 76
PROBLEMAS ..................................................................................................................................... 78
3. ÁTOMOS E MOLÉCULAS
3.1. PRIMEIROS MODELOS ATÓMICOS: THOMSON; RUTHERFORD ................................84 3.2. DIFICULDADES DO MODELO DE RUTHERFORD. O ESPECTRO DO
HIDROGÉNIO ................................................................................................................................ 86 3.3. O MODELO ATÓMICO DE BOHR .......................................................................................87 3.4. A EXPERIÊNCIA DE FRANCK E HERTZ ........................................................................... 91 3.5. PROBLEMAS DA TEORIA DE BOHR ................................................................................. 93 3.6. O ÁTOMO DE HIDROGÉNIO EM MECÂNICA QUÂNTICA ............................................ 94

7
3.7. MOMENTO MAGNÉTICO ORBITAL ................................................................................. 102 3.8. EXPERIÊNCIA DE STERN-GERLACH E MOMENTO MAGNÉTICO DE SPIN ............. 104 3.9. INTERACÇÃO SPIN - ÓRBITA. MOMENTO ANGULAR TOTAL ................................... 106 3.10. EFEITOS DE ZEEMAN E PASHEN -BACK. RESSONÂNCIA PARAMAGNÉTICA .... 110 3.11. MOLÉCULAS: LIGAÇÃO IÓNICA E LIGAÇÃO COVALENTE .................................... 111
3.11.1. Outros tipos de ligação ................................................................................................. 116 3.12. ESPECTROS MOLECULARES .......................................................................................... 117 PROBLEMAS .................................................................................................................................... 121
4. BREVES NOÇÕES DE FÍSICA ESTATÍSTICA
4.1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 129 4.2. DISTRIBUIÇÃO DE BOLTZMANN ..................................................................................... 129 4.3.INDISCERNIBILIDADE.PRINCÍPIODEEXCLUSÃODEPAULI..................................134 4.4. DISTRIBUIÇÃO DE FERMI-DIRAC .................................................................................... 137 4.5. RADIAÇÃO DE UM CORPO NEGRO ................................................................................. 139 4.6. DISTRIBUIÇÃO DE BOSE-EINSTEIN ................................................................................ 143 4.7. COMPARAÇÃO DAS ESTATÍSTICAS QUÂNTICAS COM A LEI DE
DISTRIBUIÇÃO DE BOLTZMANN .................................................................................... 144 PROBLEMAS .................................................................................................................................... 147
5. SÓLIDOS CRISTALINOS
5.1. VIBRAÇÕES DA REDE E PROPRIEDADES TÉRMICAS DOS ISOLANTES ................. 153 5.1.1. Vibrações de uma rede com um só tipo de átomos ........................................................ 153 5.1.2. Vibrações numa rede cristalina com dois tipos de átomos. Fonões ............................... 156 5.1.3. Fonões ............................................................................................................................ 160 5.1.4. A teoria do calor específico dos sólidos isolantes .......................................................... 160
5.2. GÁS DE ELECTRÕES LIVRES ............................................................................................ 166 5.2.1. Metais à temperatura do zero absoluto ........................................................................... 169 5.2.2 - Metais a uma temperatura finita .................................................................................... 172 5.2.3. Contribuição dos electrões livres para o calor específico .............................................. 173 5.2.4. O efeito de Richardson ................................................................................................... 174 5.2.5. Potencial de contacto ...................................................................................................... 177
5.3. TEORIA DAS BANDAS - CONDUTORES, ISOLANTES E SEMICONDUTORES ......... 178 5.3.1. Condutividade eléctrica de um semicondutor ................................................................ 185 5.3.2. Condutividade eléctrica de um condutor ........................................................................ 188
5.4. CONDUTIVIDADE TÉRMICA ............................................................................................. 190
5.5. SUPERCONDUTIVIDADE .................................................................................................... 191 PROBLEMAS .................................................................................................................................... 195
APÊNDICE: AINDA A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER ......................................................... 201 BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 207

O presente texto, destinado a alunos de disciplinas de licenciatura da área da Química-Física e de mestrado em Química, é o resultado de uma experiência pedagógica que consideramos bem sucedida e que teve como objectivo responder ao desafio de levar alunos sem prévios conhecimentos de mecânica quântica, a serem capazes de utilizar esclarecidamente software de química quântica computacional, com interfaces interactivas de fácil utilização, disponível no mercado. Destina-se, enfim, a todos aqueles que queiram adquirir ou aprofundar conhecimentos sobre química quântica numa perspectiva moderna e interdisciplinar.

"Ao mesmo tempo que é sobretudo destinada a estudantes de determinadas disciplinas de cursos do IST (de facto, beneficia da experiência anterior com textos-guião junto de alunos), esta obra serve, também, um público mais alargado de docentes e investigadores. E não apenas aqueles que fazem da Química Quântica a sua área de especialização principal, mas todos os químicos moleculares que, independentemente da sua área de trabalho, mais teórica ou mais prática, não podem hoje dispensar o recurso ao cálculo de química computacional centrado na estrutura de moléculas e que não seja uma cega utilização de software disponível."

Victor M. S. Gil
Professor Catedrático Aposentado
Departamento de Química
Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

"As diversas temáticas são abordadas utilizando sólidas bases físicas e matemáticas. Os conceitos fundamentais de Mecânica Quântica são introduzidos de uma forma bastante intuitiva. O autor apresenta uma abordagem original da Química Quântica, baseada numa perspectiva bastante inter-disciplinar das temáticas abordadas. O autor introduz temáticas, nomeadamente no capítulo 3, que resultam da investigação recente em Física Quântica. São apresentados os sistemas modelo mais importantes em Química Quântica (nomeadamente partícula livre, partícula na caixa, oscilador harmónico, átomo do hidrogénio, etc.). São apresentados os métodos aproximados mais utilizados em Química Quântica."

André Alberto de Sousa Melo
Professor Auxiliar
Departamento de Química
Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

PREFÁCIO
BIBLIOGRAFIA
GENÉRICO
INTRODUÇÃO
I INTRODUÇÃO ÀS IDEIAS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA QUÂNTICA
1 ONDAS E PARTÍCULAS IDEIAS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA QUÂNTICA
1.1 Introdução
1.2 Ondas Electromagnéticas e Fotões
1.3 Fotões e Estados Quânticos
1.4 Partículas Materiais e Ondas de Matéria. Relação de de Broglie
1.4.1 Difracção de Electrões
1.5 Equação de Schrödinger. Funções de Onda
COMPLEMENTOS DO CAPÍTULO 1
1A Quanta de Radiação
1B Quanta de Luz como Partículas. Efeito Fotoeléctrico e Efeito de Compton
1C Relação de de Broglie
1D Algumas Reßexões Adicionais sobre a Dualidade Onda-partícula
1E Problemas
2 SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER.EXEMPLOS SIMPLES
2.1 Partícula Livre
2.2 Partícula numa Caixa
2.3 Efeito de Túnel
COMPLEMENTOS DO CAPÍTULO 2
2A Problemas
II FORMALISMO DA MECÂNICA QUÂNTICA
3 FORMALISMO DA MECÂNICA QUÂNTICA
3.1 Introdução
3.2 Funções de Onda e Estados Quânticos
3.2.1 Espaço das Funções de Onda
3.2.2 Espaço dos Estados
3.3 Observáveis
3.3.1 Operadores Lineares e Hermitianos
3.3.2 Operadores de Projecção
3.3.3 Valores Próprios e Vectores Próprios de Operadores Lineares Hermitianos
3.3.4 Comutatividade e Compatibilidade
3.3.5 Traços de Matrizes e de Operadores
3.3.6 Produto Tensorial de Espaços de Estados e Respectivos Operadores
3.3.7 Extensão de Operadores
3.3.8 SigniÞcado Físico de Um Estado Que É Um Produto Tensorial
3.3.9 SigniÞcado Físico de Um Estado Que Não É Um Produto Tensorial
3.4 Processos Físicos
3.4.1 Previsão de Resultados de Medições ou Observações
3.4.2 Relações de Incerteza
3.5 Postulados da Teoria Quântica
3.6 Matriz Densidade
3.6.1 Introdução
3.6.2 Operador Densidade
3.6.3 Estados Puros e Misturas Estatísticas
3.6.4 Matriz Densidade de Um Sistema Múltiplo
3.6.5 Processos Físicos, Entrelaçamento e Descoerência
COMPLEMENTOS DO CAPÍTULO 3
3A Alguns Aspectos Adicionais do Formalismo
3B Paradoxo de EPR
3C Problemas
III MECÂNICA QUÂNTICA NA QUÍMICA
4 OSCILADOR HARMÓNICO LINEAR. VIBRAÇÕES MOLECULARES
4.1 Vibrações em Moléculas Diatómicas
4.2 Equação de Schrödinger
4.3 Modos Normais
COMPLEMENTOS DO CAPÍTULO 4
4A Problemas5 ÁTOMO DE HIDROGÉNIO
5.1 Introdução
5.2 Equação de Onda a Três Dimensões. Momento Angular
5.2.1 Separação da Equação
5.2.2 Equação Harmónica Esférica
5.3 Equação Radial
5.4 Funções de Onda dos Átomos Hidrogenóides
5.5 Momentos Magnéticos Orbitale de Spin
5.5.1 A Famosa Experiência de Stern e Gerlach
5.5.2 Spin do Electrão
COMPLEMENTOS DO CAPÍTULO 5
5A Spin e Simetria das Funções de Onda. Partículas Idênticas 165 5B Problemas
6 MÉTODOS APROXIMADOS DE RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
6.1 Método Variacional
6.1.1 Aplicação a Funções Expressas como Combinações Lineares de Outras Funções.
Minimização da Energia pelo Método dos Multiplicadores de Lagrange
6.1.2 Extensão do Método Variacional a Estados Excitados
6.2 Teoria das Perturbações Independentes do Tempo
6.2.1 Caso de Estados Não Degenerados
6.2.2 Caso de Estados Degenerados
COMPLEMENTOS DO CAPÍTULO 6
6A Espectroscopias de Ressonância Magnética Electrónica e de Ressonância
Magnética Nuclear para o Átomo de Hidrogénio
6B Problemas
7 TEORIA DAS ORBITAIS
7.1 Introdução
7.2 Hamiltoniano
7.3 Função de Onda
7.4 Expressões da Energia. Aproximação de Hartree-Fock
7.5 Parâmetros Variacionais. Aproximação das Combinações Lineares
7.5.1 Aproximação das Combinações Lineares
7.5.2 Bases das Combinações Lineares
7.5.3 Expressões da Energia na Base das Combinações Lineares
7.5.4 Cálculo das Energias das Orbitais e dos CoeÞcientes das Combinações Lineares
7.6 Método do Campo Autocoerente (SCF). Cálculos Ab Initio
7.7 Análise de Populações Electrónicas
7.7.1 Método de Mulliken
7.7.2 Método de Löwdin
7.7.3 Análise da Estrutura de Lewis
7.8 Correlação Electrónica. Métodos Pós-Hartree-Fock
7.8.1 Método da Interacção de ConÞgurações (CI)
7.8.2 Métodos Perturbacionais. Teoria das Perturbações de Møller-Plesset
7.9 Métodos Semiempíricos
7.9.1 Método de Hückel Simples
7.9.2 Método de Hückel Estendido
7.9.3 Método de Pariser-Parr-Pople (PPP)
7.9.4 Métodos de CNDOe INDO
7.9.5 Métodos Paramétricos (MINDO, MNDO, AM1, PM3, SAM1e MINDO/d)
7.10 Teoria do Funcional da Densidade
7.11 Comparação de Métodos e Futuro da Química Quântica
7.11.1 Breve Comparação dos Métodos mais Comuns
7.11.2 O Futuro da Química Quântica
COMPLEMENTOS DO CAPÍTULO 7
7A Átomo de Hélio — Uma Primeira Aproximação
7B Átomo de Hélio em Aproximações SCF-LCBF
7C Ião H+
7D Molécula HeH+
7E Cálculo de Hartree-Fock para a Molécula H2O
7F Método de Hückel Simples
7G Problemas
A APÊNDICES
A1 Operadores do Momento Angular para Sistemas de Muitos Electrões
A2 Aproximações Adiabática e de Born-Oppenheimer
A3 Séries de Fourier e Transformadas de Fourier
A4 Função ?de Dirac
A5 Integral de Repulsão entre Dois Electrões
A6 Sistema Internacional de Unidades (SIou mks)
A7 Unidades Atómicas
FORMULÁRIO
SOLUÇÕES E SUGESTÕES PARA ALGUNS PROBLEMAS
ÍNDICE REMISSIVO

O objectivo desta obra é dar ao aluno de Engenharia Mecânica (e áreas afins) uma primeira abordagem da resistência dos materiais. Essa abordagem passa por um texto informal mais próximo do aluno, pelo uso sistemático de diagramas e ilustrações e por notas explicativas com vista a despertar o interesse do aluno. Apenas o essencial da disciplina é abordado. Este manual não pretende substituir os ‘clássicos’ associados a este ramo. Pretende sim ser uma primeira introdução e mostrar ao aluno que estudar resistência dos materiais pode ser até divertido.

INDICE

Prefácio
Cap. 1 Noções de tensão e deformação
Cap. 2 Tensão simples
Cap. 3 Flexão de vigas
Cap. 4 Deformação devido à flexão
Cap. 5 Torção
Cap. 6 Tensões combinadas
Cap. 7 Colunas
Cap. 8 Estruturas de barras
Cap. 9 Dinâmica
Soluções dos exercícios adicionais
Anexos
Bibliografia

"Trata-se, em minha opinião, de um livro com elevada qualidade científica e pedagógica. É também um livro útil tanto mais que a nossa literatura científica neste domínio da Relatividade é bastante pobre. O texto dá uma ênfase especial aos aspectos históricos e filosóficos da teoria da relatividade e é esse, talvez, o aspecto que lhe confere maior originalidade."
Filipe Duarte Santos
Professor Catedrático do Departamento de Física
da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
 
 

João Manuel Resina Rodrigues (1930-2010) licenciou-se em Engenharia Química no IST em 1953 e doutorou-se em Filosofia pela Universidade Católica de Lovaina em 1969. Ordenou-se padre católico em 1959. Desenvolveu a sua actividade docente como Professor Associado no Departamento de Física do Instituto Superior Técnico. Foi investigador do Centro de Física da Matéria Condensada (Universidade de Lisboa), tendo publicado diversos trabalhos em Física Molecular e em História e Filosofia das Ciências. O presente texto tem constituído um dos elementos de apoio à disciplina de História das Ideias em Física da Licenciatura em Engenharia Física Tecnológica do IST. 



ÍNDICE
 1 IDEIAS DE BASE 1
1.1 Lições da História 3
1.2 Referenciais 4
1.3 O Espaço e a Geometria 5
1.4 O Tempo 6
1.5 Repouso e Movimento. Velocidade. Aceleração 8
1.6 Movimento de Translacção de um Corpo Sólido 8
1.7 Referenciais de Inércia 9

2 A TRANSFORMAÇÃO DE GALILEU E O PRINCÍPIO DE RELATIVIDADE DA MECÂNICA NEWTONIANA 11
2.1 A Transformação de Galileu 13
2.2 Consequências da Transformação de Galileu 14
 3 A TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ E O ESPAÇO-TEMPO DE MINKOWSKI 17
3.1 A Questão do Espaço e do Tempo no Final do Séc. XIX 19
3.2 A Transformação de Lorentz 21
3.3 Nota sobre Geometria Diferencial 31
3.4 O Espaço-Tempo ou Universo de Minkowski 35
3.4.1 Linhas do Universo e Cone da Luz 39
3.4.2 A Relatividade da Simultaneidade 41
3.4.3 O Teorema da Adição das Velocidades 43
3.4.4 Pares de Acontecimentos 44
3.4.5 A Contracção de Lorentz 47
3.4.6 A Dilatação de Einstein 49
3.4.7 A Aberração e o Efeito Doppler 52
3.4.8 O Tempo Próprio de uma Partícula 54
 4 INTRODUÇÃO À DINÂMICA DA RELATIVIDADE RESTRITA 57
4.1 A Quantidade de Movimento e a Nova "Lei de Newton" 59
4.2 Escalares, Vectores e Tensores num Espaço de Riemann 62
4.3 Os Quadrivectores ua, pa e aa 66
4.3.1 O Quadrivector Velocidade ua 66
4.3.2 O Quadrivector Quantidade de Movimento pa 67
4.3.3 O Quadrivector Aceleração aa 68
4.3.4 Quantidade de Movimento de um Sistema 69
4.3.5 Questões de Reflexão 70
4.4 A Nova Lei Fundamental da Dinâmica 72
4.5 A Energia 74
4.6 O Caso do Fotão 76
4.7 As Duas Notações 76
4.8 Relatividade e Simetria 78
 5 REFLEXÕES DE FILOSOFIA DA CIÊNCIA 81
5.1 Conhecimento Vulgar e Conhecimento Científico 83
5.2 Física e Conhecimento da Realidade 90
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 95